Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Быков В.П. -> "Лазерные резонаторы " -> 53

Лазерные резонаторы - Быков В.П.

Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 320 c.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка): lazernierezonatori2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 113 >> Следующая

Рис. 2.8. Распределение амплитуды низших мод на зеркале конфокального
резонатора
индексов. Они показывают поперечное распределение амплитуды моды конфокального резонатора соответствующего порядка в плоскости ограничивающей апертуры или на концевом зеркале. Подчеркнем, что значение t = 1 соответствует краю зеркала и поле при t ^ 1 поглощается экраном и, следовательно, уходит в потери. Легко видеть, что при увеличении параметра С поле все больше концентрируется вблизи оси резонатора. Это, очевидно, должно сопровождаться уменьшением дифракционных потерь мод конфокального резонатора. Строгий расчет показывает, что это действительно так. В этом мы убедимся чуть позже. Функции чрр1 являются действительными и, поэтому, поверхность
§2.4- Конфокальный резонатор
145
постоянной фазы моды совпадает с поверхностью зеркал, на котором рассчитывается распределение моды.
С целью облегчения тестирования программ численного решения резонаторных задач, в табл. 2.1 приведены значения некоторых функ-ций Qpi.
Таблица 2.1
с \ 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
o' о о О1 2 1,0 0,989 0,935 0,850 0,740 0,613 0,478 0,344 0,263
5 1,0 0,942 0,738 0,476 0,235 0,0696 -0,00708 -0,0188 -0,00335
o' о 5 2 1,0 0,923 0,0626 0,0168 -0,402 -1,019 -1,626 -2,151 -2,541
5 1,0 0,832 0,272 -0,331 -0,692 -0,687 -0,407 -0,0649 0,1436
Чтобы представить характер поведения решения в целом, очень важно иметь приближенное аналитическое выражение для функций фР1. Построение таких выражений проводят с помощью асимптотических рядов, которые переходят в точное решение при стремлении того или иного параметра к некоторому пределу. Асимптотические представления функций чрР1 хорошо разработаны, как при больших, так и малых значениях параметра с, аргумента ?, индексов pul. Особо важное значение имеют асимптотические представления функции г/jpi при фиксированных индексах р и I, и больших значениях параметра с. Т. е. такие аналитические выражения, которые стремятся к точному значению решения уравнения (2.61) при с —у оо. Важность данной области обусловлена тем, что практическую ценность имеют резонаторы с малыми дифракционными потерями и, следовательно, с достаточно большой апертурой зеркал и большим значением параметра с.
Не будем останавливаться на построении приближенных выражений для функции г^р1 и приведем лишь конечный результат [42]. Выпишем главные члены асимптотического представления функции чрР1 в соответствующих областях изменения аргумента t:
c-^/V+i/^Or2), (К i ^ с-1/4
tl+1/2ecy{l-yf
к
^/у (1 + 2/У+Р+1 k3tl+1/2I0(cy), k±tl+1/2 Jq(cz),
с 1//4^t^l — с 1 1 - с-1 < t < 1
fe?/+1/2 Re
elcz (l — izy
y/iz{ 1 + iz)l+lp+1
1 ^ t < 1 + с t>l + c~
-l
(а)
(б)
0)
(r)
(д)
(2.62)
10 В.П. Быков, O.O. Силичев
146
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
где
х = ty/c, у = \/l — t2, z =
k2 = h = &4 = h =
(-l)p2z+2p+1cp+z/2+1/4e_c
p\
(-1)^2 ^+2P+3/2c^/2+3/4e-p\
(-iy2l+2p+2cp+l/2+1/Ae~c
и Llp(x) — обобщенный полином Лагерра, /о (ж) и Jo (ж) — функции Бесселя. Из формулы (2.62) видно, что вблизи оси, т. е. в области О ^ t ^ с-1/4 при больших значениях параметра с моды конфокального резонатора описываются такими же функциями, как и моды резонатора с неограниченными зеркалами, образованного гауссовыми оптическими элементами. На рис. 2.9 представлены результаты сравнения точного значения функции грР1 и ее приближенного аналитического представления в виде (2.62а). Видно, что при с ^ 5 расхождение весьма значительно. Этот пример говорит о том, что использование выражения (2.62а) для описания распределения мод конфокального резонатора при не очень больших значениях чисел Френеля N должно быть весьма осторожным, так как получаемая при этом ошибка может быть велика.
Перейдем теперь к обсуждению характера поведения собственных значений уравнения (2.55), определяющих потери мод резонатора и спектр резонансных частот.
Если рассматривать симметричный конфокальный резонатор, образованный двумя одинаковыми сферическими зеркалами, то потери р, l-ой моды при проходе резонатора, определяться в виде
api = l- \ jpi\2,
где тpi — собственное значение уравнения (2.53). С учетом (2.56) имеем
api = 1 - са2рЬ (2.63)
где dpi — собственное значение уравнения (2.55).
При вычислении значений opi обычно исходят из представления функции чрР1 в виде абсолютно сходящегося ряда, который после подстановки в интегральное уравнение (2.55), позволяет найти искомое значение opi [42]. На рис. 2.10 приведены результаты соответствующих расчетов. Можно сказать, что при
c>Cpi = 2 + 2,7(2p + Z + l) (2.64)
потери мод с индексами 2р\ + l\ < 2р + I незначительны. Потери мод более высокого порядка при этом значительны и можно утверждать, что они не принимают участие в процессе генерации. Таким образом,
§2.4- Конфокальный резонатор
147
Л Л

1 У\ с = 5
Т \ и \
Л \\ \\ \\
0,2 \0,4 \\0,6 \\ \\ \\ 0,8 /
\\ V , / / V/ / ч /
с = 10 / \ V " \
\ \ ч ^
Qoo-c 1/4
Рис. 2.9. Распределение амплитуды низших мод Qoo (а) и Qю (б) на зеркале конфокального резонатора (штриховая линия) и распределение, описываемое формулой (2.62а) (сплошная линия). При с = 10 (а) обе кривые
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed