Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Изменение амплитуды моды при обходе правого плеча резонатора описывается формулой (2.17), в которой в качестве элементов лучевой матрицы следует взять элементы лучевой матрицы обхода правого плеча резонатора (рис. 2.5). Поскольку при обходе плеча имеем оптическую систему симметричную относительно концевого зеркала, диагональные элементы матрицы обхода должны быть равны, т. е. D\ = А1. С учетом этого получаем выражение для поля в плоскости А' А':
2тт оо
Ulpl(r2,<P2) = -jB[e2tkLl J J rl dri )upl x
о 0
x exp{r?T + AlT2 ~~ 2rir2 cos(ip! - <у9г)]}- (2.42)
В соответствии с предположением, что функция upi описывает распределение амплитуды моды резонатора, после обхода левого плеча имеем u[pl = xpiupi. С другой стороны, используя выражение, вполне аналогичное (2.42), легко выразить функцию и[р1 через распределение поля в плоскости A1 A1 u\pi. Поэтому получаем уравнение
277 ОО
XplUpl{ri,?l) = ~ХЩ,е2М2 f J r2dr2F(r2,tp2)Ulpl(r2,tp2) X
о о
х ехр{гЖ + ^2r2 ~ 2nr2cos(^i - <?>2)]}, (2.43)
которое совместно с выражением (2.42) образует систему интегральных уравнений, определяющей, как структуру поперечной моды ре-
136
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
зонатора р, l-то порядка, так и соответствующее собственное значение данной моды кР1.
В случае, когда функция F представлена в виде (2.41) система уравнений (2.42)-(2.43) может быть приведена к более удобному виду путем перехода к безразмерным переменным tip = rip/ Ro'-
2тг 1
uiPi(t2,V2) = -iNie2lkLl Jd(pi Jdti tiF(ti,(pi)upi(ti,(pi) x
о о
x exp{i7rNi[Aitl + Ait% — 2tit2 cos(<^i — ^2)]}, (2.44a)
2tt 1
XplUpl(ti,(pi) = -iN2e2tkL2 J dtfi2 J dt2t2F(t2,<P2)uipl(t2,<P2) X
0 0
x exp{i7rN2[A2tl + A2t\ - 2tit2 cos(<^i - ^2)]}- (2.446)
Параметры
Nl'2 = YrT, (2‘45)
называют числами Френеля резонатора. Li и L2 — геометрическая длина правого и левого плеча резонатора.
При сколько-нибудь общем виде функции F(t,(p) решение этой системы возможно лишь численными методами с помощью ЭВМ. При этом требуются, как правило, значительные затраты машинного времени даже на мощных ЭВМ. В случае, когда неоднородности аберрационного элемента носят осесимметричный характер и функция пропускания не зависит от азимутального угла, систему уравнений (2.44а), (2.446) можно существенно упростить. Для этого будем искать решение в виде
Upi(ti,<pi) = Qpi(t 1)
sinZ<pi ’
(2.46)
uipi(t2,Lp2) = Qipi(t2) I . .
sm l(p2
Такое представление функций upi и uipi позволяет проинтегрировать уравнения (2.44а) и (2.446) по углу и тем самым свести систему к системе двух одномерных интегральных уравнений. Подставляя (2.46) в (2.44а) и (2.446) и, используя интегральное представление функции Бесселя (2.26а), преобразуем нашу систему к виду
QiAh) =2vNi(-i)l+1e2ikL' х 1
х J dti tiT(ti)Qpi(ti) Ji(2nNitit2) exp[i7rTViAi(t2 + tf)\, (2.47a)
2.3. Интегральное уравнение резонатора
137
XpiQpiih) = 2tt7V2(—i)'+1e2ifcL2 х 1
х Jdt2t2T(t2)Qipi(t2)Ji(27rN2t1t2)exp[iTrN2A2(tl +tl)\. (2.476)
о
Данная система, в силу одномерности интегралов, требует для своего численного решения существенно меньше машинного времени, чем решение системы (2.44). Объем расчетов можно также существенно сократить, используя так называемые свойства подобия резонаторов. Для этого отметим, что резонаторы, имеющие различные оптические схемы, но характеризуемые одинаковым набором параметров (Ai, А2, N2), описываются одной и той же системой уравнений, и следовательно, имеют одинаковые потери и структуру поперечных мод. Поэтому система интегральных уравнений (2.47а), (2.476) описывает фактически целое семейство резонаторов с одинаковым набором величин (Ai, А2, iVi, N2). Резонаторы, принадлежащие одному семейству, называют подобными резонаторами.
В случае, когда функция Т — действительная, можно усмотреть еще одно свойство подобия. При переходе к системе уравнений, комплексно сопряженных с уравнениями (2.47а) и (2.476), легко увидеть, что полученные уравнения описывают моды резонатора, в котором коэффициенты А\ и А2 заменены на —А\ и —А2. При этом поперечная структура мод и соответствующие собственные значения нового резонатора имеют вид:
Qpi — Qph Qipi — Qiph , ч
(2.48)
xpi = -к*г exp[4i&(Li + L2)],
где Qpi, Qipi и Kpi — моды и собственные числа резонатора с коэффициентами ii и ^2, а звездочка означает знак комплексного сопряжения.
Соотношения (2.48), в частности, показывают, что в резонаторах, характеризуемых наборами параметров (А\, А2, iVi, N2) и (—А1у —А2, iVi, N2) потери мод одинаковы, поскольку потери моды определяются модулем соответствующего собственного числа, a \>cpi \ — \xpi\-
Наряду с этими свойствами подобия, можно указать еще целый ряд менее очевидных связей [22, 39], которые позволяют иногда существенно упростить задачу расчета резонатора. Не останавливаясь на них, переедем к рассмотрению наиболее важных частных случаев, в которых возможно дальнейшее упрощение системы уравнений.
Когда лучевые матрицы обхода правого и левого плечей резонатора одинаковы, имеем А\ = А2 = А и N\ = N2 = N. В этом случае ядра интегральных уравнений (2.47а) и (2.476) становятся тождественными с точностью до несущественного, с точки зрения нашего анализа, экспоненциального множителя exp(2ikLi^2) (в дальнейшем будем
