Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Прежде, чем перейти к анализу соответствующего интегрального уравнения, описывающего моды конфокального резонатора, приведем несколько примеров конфокальных резонаторов простейшего вида. Рассмотрим двухзеркальный симметричный резонатор, изображенный на рис. 2.6. Он образован двумя одинаковыми сферическими зеркалами с радиусом кривизны R. Лучевая матрица прохода такого резонатора имеет вид
Условие (2.52) выполняется при R = L, т. е. в том случае, если каждое сферическое зеркало резонатора расположено в центре кривизны другого. Это простейший пример конфокального резонатора, который уже приводился в первой главе. Решение интегрального уравнения (2.49) описывает распределение амплитуды моды на концевых зеркалах резонатора.
Несимметричный резонатор, в котором ограничивающая апертура расположена вблизи одного из зеркал, например, плоского, как на рис. 2.7, может быть отнесен к конфокальному при условии, что R = = 2L. Действительно, поскольку лучевая матрица обхода резонатора в этом случае имеет вид
А В С А
А В С А
при R — 2L условие (2.52) выполнено.
142
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
Ранее отмечалось, что в зависимости от формы зеркал целесообразно применять либо декартову, либо цилиндрическую систему координат. Ограничимся подробным анализом случая, наиболее часто встречающегося на практике, когда апертура, ограничивающая излучение в резонаторе, имеет круглую форму и удобнее пользоваться цилиндрической системой координат. Случай, когда апертура имеет прямоугольную форму, коротко обсудим в конце параграфа.
Уравнение, описывающее моды конфокального резонатора с ограничивающей апертурой круглой формы, получим из (2.49) или (2.51) положив Т = 1 и А = 0:
1
JpiQpiih) = 2тт N (—i)l+1 e2tkL° J dti tiQpi(t1)Ji(27TNtit2). (2.53)
0
По-видимому, уместно напомнить, что поле на зеркале (или ограничивающей апертуре) описывается функцией (2.46)
Г COS lip
Upi — ^cpl \ . 7
l^sm/^
Преобразуем уравнение (2.53) к симметричному виду. Для этого достаточно перейти к новой неизвестной функции
ФPi(t) = VtQpi(t), (2.54)
для которой получаем уравнение
1
<Тр1фр1&) = J V^hJiicht^piihWh, (2.55)
о
где 1
apl = -i= (—i)~l~1e~2%kL°jpi (2.56)
Vе
И с = 2тг N. (2.57)
Уравнение (2.55) является уравнением с действительным симметричным ядром, которое достаточно хорошо изучено в математике. В частности, известно, что подобные интегральные уравнения имеют систему собственных функций и собственных значений, которые образуют бесконечное счетное множество. Все собственные значения действительного симметричного ядра действительны. Собственные функции взаимно ортогональны
J ФРи ¦ ФР1 dt = ^ ^ (2.58)
Интересной особенностью функций чрР1 является свойство их двойной ортогональности, а именно ортогональность также на бесконечном ин-
§2.4- Конфокальный резонатор
143
тервале [42]: оо
[ ¦Фри ¦ ФР1 dt = Pl ^ Р’ (2.58а)
J [1 /аР1, pi=p.
Кроме того, система функций грР1 обладает свойством полноты в классе функций с интегрируемым квадратом модуля в интервале (0,1). Это означает, что всякая такая функция может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям уравнения (2.55). Заметим, что все сформулированные свойства справедливы и для функций upi, так как функции cos lip и sin^ ортогональны на интервале (0, 27т) и образуют полную систему функций.
После этих общих предварительных замечаний о свойствах решений уравнения (2.55), перейдем к их более тщательному анализу. Для этого построим некоторое дифференциальное уравнение, решениями которого являлись бы функции грР1. Легко показать, что собственные функции интегрального оператора Lu, определяемого уравнением (2.55) Lu(ippi) = (Tpi'ippi будут являться собственными функциями некоторого дифференциального оператора Lq, в том и только в том случае, если эти операторы коммутируют, т. е.
LuLd — LqLu = 0. (2.59)
Действительно, если Lq(\Ppi) = (Tpi'ippi, то равенство (2.59) очевидно. С другой стороны, из условия Lu(ippi) = (Tpi'ippi и соотношения (2.59) следует, что Lu(Ld(ippi)) = (TpiLd(\ppi) и, следовательно, функция Ld(ippi) пропорциональна собственной функции оператора ippi, т. е.
Ldi^Ppi) — Gpi^pi- (2.60)
Таким образом, для того, чтобы построить дифференциальное
уравнение (2.60) следует найти дифференциальный оператор Lq, ком-
мутирующий с Lu. Можно показать [42], что таким оператором является . л г /1/4 /2 \
+ 1/±^]__с2х2\
X
2
и, следовательно, для нахождения собственных функций уравнения (2.55) следует решить дифференциальное уравнение
(1 _ *1) _ cV _ srl^rl = 0. (2.61)
При значении параметра I = 1/2 уравнение (2.61) переходит в известное уравнение [41], решением которого являются специальные функции, называемые вытянутыми волновыми сфероидальными функциями нулевого порядка. В связи с этим, функции, являющиеся ограниченным решением уравнения (2.61), при произвольном I, принято называть обобщенными вытянутыми сфероидальными функциями. Они весьма подробно исследованы [42-46 и др.].
1/4 -I
144
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
В работах [42, 46] построено решение уравнения (2.61) в виде равномерно сходящихся рядов. Мы не будем их приводить в силу их громоздкости. Отметим лишь, что именно с их помощью проводятся вычисления на ЭВМ обобщенных вытянутых сфероидальных функций. В книге [42] приведены подробные таблицы значений этих функций в широком интервале значений аргумента и индексов. Для того, чтобы представить характер их поведения при изменении аргумента, на рис. 2.8 представлены зависимости для некоторых значений
