Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
структуру пучка ничтожно мало, тем более, что в стационарном режиме генерации эти потери компенсируются усилением в активной среде лазера. Однако мы рассмотрим простой пример резонатора с потерями, на котором можно познакомиться с несколько модифицированным гауссовым пучком с комплексным значением к.
Пусть резонатор образован сферическим зеркалом со стопроцентным коэффициентом отражения и плоским зеркалом с коэффициентом отражения R (рис. 1.8). Гауссов пучок, составляющий моду такого резонатора и бегущий вправо, описывается
\
Ri = R /?2 = 1
Рис. 1.8. Лазерный резонатор, в котором плоское зеркало имеет коэффициент, меньший единицы
§1.4- Потери энергии в лазерных резонаторах
33
тем же выражением (1.5), но теперь уже с комплексным значением к (1.48),
u(r, z, t) = —ехр[ + ikz + iip — iutl. (1-51)
z — ib 12 (z — ib) J
Разделяя в показателе экспоненты, в члене, пропорциональном г2, вещественную и мнимую части, получим выражения для радиуса кривизны волнового фронта
Й = *'НГ = жтйг ^
и квадрата поперечного радиуса пучка
w2=(Iml) , = (1'53)
как можно убедиться, эти выражения пренебрежимо мало отличаются от выражений (1.16).
Для того чтобы найти гауссов пучок, составляющий, как и (1.51), моду резонатора, но бегущий влево, учтем, что пучок (1.51) удовлетворяет вещественному волновому уравнению (см. § 1.12), а следовательно, тому же уравнению удовлетворяет и комплексно сопряженный с (1.51) пучок
и'(г, z, t) = и* (г, z, t).
Но кроме того, в решении u'(r,z,t) можно также изменить знак при
uj на обратный без изменения знака к, поскольку решение (1.51) по-
лучается посредством разделения пространственных и временных переменных и связь между к и и имеет вид с2 к2 = и2. В результате приходим к решению
«(г> *> *) = ifib ехР [- Щ7ТЩ “ ik*z ~itp~iu4] ’ (L54)
которое и является волной, бегущей влево. Нетрудно убедиться, что для этого пучка имеют место те же самые выражения (1.52) и (1.53) для радиуса кривизны волнового фронта и поперечного радиуса.
Потребовав, чтобы радиусы кривизны зеркал совпадали с радиусами кривизны волновых фронтов пучков (1.51) и (1.54) на них, а также учтя, что z — z = L, где L — длина резонатора, можно найти величины 6, 5 и z. Сумма полей на сферическом зеркале должна быть равна нулю. Достаточно обратить в нуль сумму полей на оси резонатора (при г = 0), поэтому получаем равенство
Qei(kz+(p—a.rctg(b/z)) _ _q/ei(k*z — (p' +arctg(6/z))
распадающееся на два равенства Gek z = G'e~k z, 2k'z + ip + ip' — 2 arctg(b/z) = (2m + 1)tt. (1.55)
3 В.П. Быков, O.O. Силичев
34
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
На плоском зеркале аналогично имеем равенство
&rctg(b/zbar)) ^i(k* z — cp'-\-arctg(b/z))
где R — коэффициент отражения от плоского зеркала. Из этого равенства следуют два равенства
Gek"1 = \R\G'e~k"~z, 2k'z + <p + <p' - 2 arctg(b/z) = (2m' + 1)тг.
(1.56)
Деля первое из равенств (1.55) на первое из равенств (1.56), получаем
|Д|е2 k"(~z-z) = 1?
ИЛИ
к" = - In \R\/2L, uj" = 6 = -сIn\R\/2L,
т. e. значения к" = и"/с, полученные ранее на основе простых соображений.
Вычитая из второго равенства (1.55) второе равенство (1.56), получим соотношение
к' L — arctg (b/z) — arctg(6/z) + i arg R = птг (n = m — m'),
определяющее спектр резонатора.
Подчеркнем еще раз, что мнимая добавка в к всегда очень невелика и ее влияние на поперечные параметры пренебрежимо мало, поэтому на практике всегда поперечные параметры определяют на основе правила ABCD, считая к вещественной величиной, и затем декремент затухания S находят по формуле (1.49) или (1.50).
Рассмотрим потери, вносимые в резонатор гауссовой диафрагмой, при этом для общности будем считать, что она совмещена с квадратичным фазовым корректором (линзой) и их совместное действие на пучок описывается матрицей (1.40), причем величина Р принимает комплексные значения
где F — фокусное расстояние линзы и F' — характерная длина гауссовой диафрагмы (мнимое фокусное расстояние).
Исследуя прохождение гауссова пучка через линзу, мы отмечали, что его поперечные размеры не изменяются, и это приводило к равенству амплитудных констант G и G пучков до и после линзы. Равенство амплитудных констант свидетельствует об отсутствии потерь на линзе. В случае гауссовой диафрагмы ситуация изменяется. В § 1.3, сравнивая поля до и после корректора и приравнивая их на оси, мы пришли к равенству (1.43):
GVb _ G'у/У \/{z ~ zi)2 + b2 y/(z - z[)2 + b'2 ’
§1.5. Матричный метод расчета лазерных резонаторов
35
причем множители при G и G обратно пропорциональны поперечным
радиусам пучков до и после линзы. Легко понять, что это равенство
остается справедливым и при наличии гауссовой диафрагмы. Однако
в этом случае поперечный радиус пучка уже не остается неизменным, ~ ~/
поэтому множители G и G теперь не равны друг другу.
Из правила ABCD для матрицы (1.40) при комплексном значении С следует
Im(l/q') = -i с 2° + lm{l/q).
Так как С = —Р, учитывая (1.57), получаем
/2 w2
w —
G =
1 + kw2/F'
G
1 + kw2/F''
где w — поперечный радиус пучка на гауссовой диафрагме до ее прохождения пучком. Эти соотношения не зависят от наличия линзы (т. е. от величины F). Таким образом, как и при обычном ослабителе амплитудный множитель на гауссовой диафрагме умножается на некоторую величину
