Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Отметим также расположение центра кривизны волнового фронта гауссова пучка. При zo = — оо он находится в центре перетяжки гауссова пучка г = 0, z = 0. Затем при приближении волнового фронта к перетяжке центр кривизны смещается в положительном направлении. Когда волновой фронт находится в точке zo = —b, центр кривизны находится в симметричной точке z — Ь. При дальнейшем смещении волнового фронта в сторону перетяжки центр кривизны далее смещается в положительном направлении и при zq = 0 он уходит в +оо.
§1.1. Гауссов пучок в свободном пространстве
17
Далее, при удалении волнового фронта в положительную сторону от перетяжки центр кривизны приходит из — оо и при zo = b находится в симметричной точке z — —Ь. При zo —У +оо центр кривизны приближается к центру перетяжки. Таким образом, при zo = =Ьоо гауссов пучок представляет собой сферическую волну с центром при г — О и z = 0.
Отметим, что как величина, так и направление фазовой скорости зависят от поперечной координаты г поля пучка. В частности, на каустике фазовая скорость поля направлена вдоль каустики и по величине равна скорости света в вакууме.
Зависимость фазы гауссова пучка от продольной координаты также представляет интерес. Напомним, что в плоской волне фаза в направлении распространения волны линейно нарастает:
^ПЛОСК. ВОЛНЫ - ibZj
в гауссовом пучке зависимость фазы от z более сложна. Полагая в выражении (1.6) г = 0, получим
^гаусс. пучка — kz arctg —.
Таким образом, если в плоской волне фазовая скорость постоянная и равна скорости света в вакууме, то в гауссовом пучке фазовая скорость равна
^фаз = g •
1 " k(b2 + г2)
Легко видеть, что в периферических частях гауссова пучка (\z\ > > b) фазовая скорость примерно равна скорости света в вакууме, в центральной же части пучка (\z\ < b)
^фаз = Т~ ч
1 ” kb
фазовая скорость несколько больше с (рис. 1.3). Соответственно, в центральной части гауссова пучка, на его оси расстояние между горбами волн несколько больше А.
Дадим еще одну важную характеристику пучка — угол расходимости излучения при z —У оо. Его определяют как угол между асимптотами гиперболы (1.11)
_ 2а _ _2_
2—^оо Ь ка
Обратимся теперь к рассмотрению первой формы гауссова пучка (1.5). В ней из-за неразделенности мнимой и вещественной частей показателя экспоненты характеристики как амплитудного, так и фазового распределений сосредоточены в одном параметре
q — z — ib, (1-15)
который обычно называют комплексным параметром гауссова пучка. Хотя мы также будем пользоваться этим общепринятым термином,
а = 2 arctg —
z
2 w
2 В.П. Быков, 0.0. Силичев
18
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
>1 ^фаз
Рис. 1.3. Фазовая скорость поля гауссова пучка в разных точках оси z
отметим, что он не очень удачен, так как параметр q зависит от z и характеризует не пучок в целом, а лишь некоторое его сечение, правильнее было бы говорить о комплексном параметре того или иного сечения гауссова пучка. Радиус кривизны волнового фронта R и параметр kw2 = Ъ + z2/Ъ, связанный с радиусом поперечного распределения амплитуды поля гауссова пучка, можно, согласно (1.10) и (1.14), выразить через параметр q
R = [Re(l/g)]_1 = kw2 = [Ml/g)]"1 = (1.16)
и, следовательно,
q = R + b^’ ('1Л7')
где величины R, kw2 являются функциями z, т. е. характеризуют определенное поперечное сечение гауссова пучка с заданным 2. Таким образом, один параметр q (правда, комплексный) заменяет собой как характеристика того или иного сечения гауссова пучка два вещественных параметра, R и kw2.
При переходе от одного сечения к другому параметр q изменяется, как это следует из (1.15), по правилу
42 = qi + /,
где I — расстояние, разделяющее сечения 2 и 1. Можно указать также другое, несколько более сложное, но гораздо более общее правило преобразования q при переходе от одного сечения к другому, а именно:
_ Aqi + В ( ^
92 - c^Td’ (1Л8)
где коэффициенты А, В, С и D образуют так называемую лучевую матрицу
м=(с ?)• 11191
§1.2. Лазерный резонатор, образованный сферическими зеркалами 19
Соотношение (1.18) выражает собой широко используемое при расчете резонаторов правило (или закон) ABCD.
При распространении гауссова пучка в свободном пространстве переход от одного сечения к другому описывается лучевой матрицей
t=(j (1.20)
которая является частным случаем матрицы М и называется матрицей (или оператором) трансляции и которая в соответствии с (1.18) приводит к правилу — qi + I.
Простота преобразования параметра q при различных трансформациях гауссова пучка оптическими системами является основной причиной его введения в теорию. Как мы увидим далее, на простых правилах преобразования гауссова пучка основан метод расчета лазерных резонаторов — так называемый матричный метод.
В данном случае матрица (1.20) появилась непосредственно из выражения для гауссова пучка (1.5). В дальнейшем будут найдены и другие лучевые матрицы, описывающие прохождение гауссова пучка через различные оптические элементы. Наиболее простой вывод лучевых матриц дает геометрическая оптика (см. §5.1); тесная связь лучевых матриц с геометрической оптикой и породила их название.
