Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
I — целое число (продольный индекс моды).
Так как поперечная структура моды установлена выше, то приращение фазы достаточно вычислить лишь на оптической оси.
Рассмотрим резонатор, изображенный на рис. 1.10, причем пренебрежем набегами фаз на зеркалах и других фазовых корректорах (например, линзах). Как видно из (1.6), набег фазы на оси пучка (г = 0) на отрезке свободного пространства длиной L равен
Аср — kL — arg q1 + arg q,
где q, q1 — комплексные параметры пучка соответственно в начале и конце отрезка L. Следовательно, полный набег фазы в резонаторе,
Рис. 1.10. К выводу продольного фазового условия
44
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
изображенном на рис. 1.10, равен
Aip = kLi - arg q[ + arg q1 + kb2 - arg q'2 + arg q2 + ...
N N
... + kLN - arg q'N + arg qN = kL - ^ argg' + ^ arg®,
где L — полная длина оптического пути резонатора, q^ qi — комплексные параметры пучка в конце и начале г-го плеча. Разность сумм в этом выражении можно представить в виде
= агёТТ(“)= argA-
г=1 г=1 г=1
Покажем, что величина
2=1
является собственным значением лучевой матрицы М исследуемого резонатора. Примем в качестве реперной плоскость сечения около левого зеркала (нулевого фазового корректора); тогда матрицу резонатора можно представить в виде
М — СnLnC_/v—1 .?/tv—i • ... • C2L2CiLi,
где матрицы Ci и Li описывают, соответственно, квадратичную коррекцию и проходы (трансляции) по плечам резонатора и имеют вид
е‘ = (с, ?)¦ г, = (о 1?
где Ci — параметр, описывающий фокусирующее действие г-го корректора (см. (1.40) и (1.45)). На векторы специального вида, образованные комплексным параметром пучка д, эти матрицы, согласно правилу ABCD (1.60), действуют следующим образом:
Ci l) (l/<?() = (l/g' + Ci) = (l/q'i+1
Вектор
1 iij АЛ _ fn + u\ _ /«;
(1.76)
(1.77)
является собственным вектором матрицы М, если параметр q\ определен по правилу ABCD (1.63), это видно из следующего простого
1.6. Астигматичный гауссов пучок
45
вычисления:
А В\ (дЛ _ (Aqx + В С D)\ 1) ~ {CQi+D = (Cgi + D) + B){(Cqi + D)^j = (Cqi + D) (Д1) .
Нетрудно видеть, что в соответствии с (1.76)
ёА (?)=® (?) ¦ е* (?)=?, (т)
и, следовательно, при действии всей цепочки М на вектор (1.75), получим
*(?)-Ч?
если учесть, что gn+i = Qi? так как (1.77) определяет собственный вектор матрицы М.
Таким образом, полный набег фазы в резонаторе равен
д 7 r А + D
Аср — kL — arccos —-—,
где А и D — диагональные элементы матрицы М резонатора, и продольное фазовое условие имеет вид
kL = 2irl + arccos ^ ^. (1-78)
§ 1.6. Астигматичный гауссов пучок, астигматичные оптические элементы, астигматичные резонаторы
Поле астигматичного гауссова пучка описывается выражением
= exp[fr + fr + ifc + H’ (1-79)
где
qx—z-zx- ibi и q2 = z - z2 - ib2
— комплексные параметры пучка, имеющие размерность длины. Легко видеть, что при q\ — q2 астигматичный гауссов пучок совпадает с обычным, неастигматичным (стигматичным) гауссовым пучком. Астигматизм гауссова пучка выражается в том, что он имеет теперь различные параметры в плоскостях х и у или, иными словами, плоскостях своей симметрии. Во-первых, могут различаться z\ и z2 и, следовательно, перетяжки в плоскостях ж и у будут располагаться при
2 = z\ и 2 = 22, т. е. у астигматичного пучка имеются две перетяжки.
46
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Во-вторых, характерные поперечные размеры пучка в плоскостях х и у различны и определяются соотношениями
(wx(z) = ^[{z - zx)2 JrhW/kh,
\wv(z) = л/[{г - z2)2 + Щ]/кЬ2.
Наконец, радиусы кривизны волновых фронтов в плоскостях ж и у также различны и определяются соотношениями
(Rx(z) = (z-zi)+bl/(z-zi),
\Ry(z) = (z - z2) + b\j{z - z2).
Форма волнового фронта астигматичного гауссова пучка лишь в частных случаях такая, как у обычного гауссова пучка. У последнего это всегда кусочек сферы или параболоида вращения. У астигматичного гауссова пучка волновой фронт представляет собой кусочек параболоида, но не вращения, а астигматичного, имеющего разные параметры в плоскостях х и у. В перетяжках волновой фронт имеет цилиндрическую форму, между перетяжками zi < z < z2 волновой фронт имеет форму седловой поверхности. На такой поверхности имеются, как известно, линии нулевой кривизны; в данном случае это прямые, лежащие на волновом фронте, перпендикулярные оси 2, и составляющие с осью х угол =Ьа, где
,Г2 Л._ (¦S-*!)[(*-*2)2 + Ы]
Таким образом, у волнового фронта астигматичного гауссова пучка наблюдается большее разнообразие форм, чем у обычного.
Учитывая эти отличия, не следует, однако, забывать, что в каждой из плоскостей х или у астигматичный гауссов пучок ведет себя, как обычный гауссов пучок и соотношения (1.80) и (1.81) есть не что иное, как соотношения (1.10) и (1.14) для обычного гауссова пучка, только переписанные в новых обозначениях и имеющие, как уже сказано, разные параметры в разных плоскостях.
Астигматичный гауссов пучок характеризуется двумя — это ясно из сказанного выше — комплексными параметрами
qx—z-z 1 - ibi, q2 = z - z2 - ib2,
относящимися, соответственно, к плоскостям ж и у.
