Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Сферическое зеркало, как известно, имеет фокусное расстояние, равное половине его радиуса кривизны, таким образом, в конфокальном резонаторе фокусы зеркал совпадают — этим и объясняется его
1.3. Прохождение гауссова пучка через тонкую линзу
25
название. Концентрический резонатор назван так потому, что в нем совпадают центры кривизны образующих его зеркал. Полу конфокальный резонатор является как бы половиной конфокального — если посередине между зеркалами конфокального резонатора поместить плоское зеркало, то образуются два полуконфокальных резонатора. Название симметричного резонатора понятно; название «телескопический резонатор» станет ясно после обсуждения свойств неустойчивых резонаторов.
Таким образом, использование простого гауссова пучка (1.21) в качестве моды резонатора позволило нам получить обширную информацию о продольных модах рассматриваемого лазерного резонатора и о его свойствах в целом. Как мы увидим далее, еще большая информация может быть получена, если обратиться к некоторым обобщениям гауссова пучка.
§ 1.3. Прохождение гауссова пучка через тонкую линзу и отражение его от сферического зеркала
Прежде чем рассматривать прохождение гауссова пучка через тонкую линзу, познакомимся с важным понятием квадратичного фазового корректора. Это понятие является обобщением и идеализацией понятия тонкой линзы, оно позволяет с единой точки зрения рассматривать линзы, сферические зеркала и некоторые другие оптические элементы.
Вспомним, что падающая на линзу волна проходит в диэлектрике, образующем линзу, вблизи оси больший оптический путь, нежели на краю, и, следовательно, волна в центре линзы имеет больший набег фазы, чем на ее краю. Принимая во внимание симметрию линзы, нетрудно понять, что зависимость набега фазы от расстояния до оси линзы должна быть квадратичной. Это свойство линзы и лежит в основе определения квадратичного фазового корректора. Квадратичным фазовым корректором называется идеальный оптический элемент, который, будучи расположен на пути бегущей волны, вносит в нее дополнительный фазовый набег, квадратично зависящий от поперечных координат. Если волна бежит в положительном направлении оси г, то, проходя через квадратичный фазовый корректор, она приобретает дополнительный набег фазы, равный
ДФ(ж, у) = kPr2 = -| kP(x2 + у2), (1.36)
где Р — оптическая сила фазового корректора — величина, обратная
26
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
его фокусному расстоянию
Р=у, (1-37)
как можно видеть, набег фазы в центре корректора (х = 0, у = 0) больше (он равен нулю), чем на периферии (набег фазы — отрицательная величина). Квадратичный корректор по сравнению с линзой идеален в том отношении, что в нем не учитывается толщина линзы — фазовый корректор бесконечно тонок, а также поперечные размеры линзы — фазовый корректор в поперечном направлении не имеет границ. Существенно также, что пренебрегается отражением света от поверхностей линзы; в результате этого фазовый корректор не обладает потерями. В реальных линзах паразитное отражение света от ее поверхностей может быть уменьшено посредством нанесения на них специальных покрытий — просветлением.
Покажем теперь, что плоская волна, проходя через квадратичный корректор, превращается в сферическую волну, собирающуюся в фокусе корректора, т. е. на расстоянии F от корректора. В плоской волне, падающей слева на фазовый корректор, расположенный при z — 0, фаза не зависит от поперечных координат:
щ =Aeikz+iV1.
Сферическая волна, сходящаяся после фазового корректора в точке z = zo, имеет вид
и2 = ?Д_1е_“л+^2,
где
R = \J[z- z0)2 +r2.
В параксиальном приближении, т. е. при малых г, при z = 0 (т. е. за фазовым корректором) эту волну можно представить в виде
и2 = Bz0 1 exp —ik(z + + i(p2
l \ 0 ^Zq/
В соответствии с определением квадратичного корректора сумма фазы волны, падающей слева на корректор, и фазы, вносимой корректором (1.36), должна быть равна фазе волны, уходящей справа от корректора, т. е.
kPr2 = -kz0 - i kz^r2 + ip2.
Ясно, что это соотношение может быть выполнено при (pi - ip2 = kz0 и F = Z0.
Но последнее равенство как раз и означает, что сферическая волна соберется в фокусе фазового корректора. Таким образом, квадратичный фазовый корректор действительно ведет себя как линза.
1.3. Прохождение гауссова пучка через тонкую линзу
27
Покажем теперь, что гауссов пучок, проходя через квадратичный фазовый корректор, остается гауссовым пучком, хотя его параметры изменяются. Пусть слева на фазовый корректор, расположенный в сечении z = const, падает гауссов пучок
“М = ггha, стр[2(,-Г-,ь) +ikz + Н •
где z — координата перетяжки пучка.
Справа же от корректора пусть отходит гауссов пучок
Ч \ G' Г ikr2 . ,1
" fr. »> = , _ у - ,У «ф[2(г - у - (У) + -Ь + .у j ¦
Вспоминая определение комплексного параметра гауссова пучка
(1.15) и соотношение (1.16), показатели экспонент гауссовых пучков можно представить в виде
г^-(Ве-+Ит-), ^ (Re - + i Im-).
2 V q qJ 2 V q! qf J
В соответствии с определением фазового корректора следует потребовать
Re - — Р = Re —. Im - = Im —. (1.38)
