Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Если оптическая система, в частности лазерный резонатор, обладает плоскостью симметрии и одна из плоскостей симметрии гауссова пучка совпадает с плоскостью симметрии оптической системы, то с параметрами q\ и q2 можно обращаться точно так же, как и с параметром q обычного гауссова пучка. В частности, можно пользоваться правилом ABCD, правда, теперь уже, если оптическая система сама астигматична, то каждый ее элемент будет описываться двумя матрицами 2x2, разными для каждой из плоскостей симметрии пучка.
1.6. Астигматичный гауссов пучок
47
Далее будут приведены примеры применения правила ABCD к астиг-матичному гауссову пучку.
Простейшим астигматичным оптическим элементом является граница раздела свободного пространства и диэлектрика при наклонном падении на нее гауссова пучка. Пройдя через эту границу, пучок остается гауссовым. Гауссов пучок в диэлектрике описывается следующим выражением:
иДИЭя{х,у,г) = ^_ехр[^- + г-^~ + iknz + гу/|, (1.82)
1 2<h J
где штрихом отмечены параметры этого пучка. От (1.79) это выражение отличается лишь тем, что везде волновое число к заменено на произведение этого волнового числа на показатель преломления диэлектрика п.
Сравним поперечные распределения в падающем и прошедшем пучках. Для этого введем координаты ж', у1, отсчитываемые вдоль поверхности раздела сред:
тд — % COS $1, «^прошед — % COS $2 ?
У пад — У 5 У прошед — У j
^пад — % Sin$i, ^прошед — % sin^2,
Сравнение членов, пропорциональных 2, приводит естественно к соотношению
sin$i
= п’
Sin и 2
т. е. к обычному закону преломления. Приравнивая члены, содержащие х и у, в показателях экспонент в выражениях (1.79) и (1.82), получим
, п COS2 $2 / 00ч
ql =gi C0S2^ > Q2=Q2fl. (1.83)
Как легко видеть, эти соотношения получены при условии, что параметры qi и 6/2 не сильно изменяются вдоль границы раздела сред в области пересечения падающего пучка с этой границей. При выводе (1.83) параметры q± и q2 считались постоянными в этой области. Это означает, что падение пучка на границу раздела не должно быть скользящим, т. е. угол 'д не должен быть близок к 7г/2.
Соотношения (1.83) можно представить в виде правила ABCD (1.60), если ввести лучевые матрицы
(cos $2 п \
"Т*7 ¦ м«=(о !)¦ <184)
COS $2 /
описывающие изменение комплексных параметров q± и q2 астигматичного гауссова пучка при прохождении им плоской границы диэлектрика. Детерминанты этих матриц равны 1/п. Детерминанты матриц,
48
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
описывающих прохождение гауссова пучка из диэлектрика в свободное пространство, равны п. Поэтому детерминант А??(71)-матрицы всего резонатора при наличии в нем диэлектрика равен единице.
Типичными линейными резонаторами, моды которых — астигма-тичные гауссовы пучки, являются резонаторы с брюстеровскими окнами или какими-то иными астигматичными элементами, а также кольцевые резонаторы (§1.14, рис. 1.21), где астигматизм возникает из-за наклонного падения пучков на зеркала. Рассмотрим расчет подобных резонаторов на основе правила ABCD. Такой расчет возможен в том случае, когда резонатор обладает плоскостью симметрии, и производится он раздельно в плоскости симметрии и в перпендикулярной к ней плоскости, проходящей через осевой луч резонатора. В кольцевых резонаторах перпендикулярных плоскостей может быть несколько в каждом его плече — своя перпендикулярная плоскость. Однако мы для краткости будем говорить об одной такой плоскости.
Итак, в каждой из плоскостей оптическим элементам сопоставляются лучевые матрицы и вычисляются матрицы Mi и М2, описывающие резонатор в целом в каждой из плоскостей. Эти матрицы определяют поперечные размеры мод и радиусы кривизны их волновых фронтов в соответствующих плоскостях (симметрии или перпендикулярной) согласно соотношениям (1.67). Использование этих соотношений вполне правомерно, поскольку, как уже сказано, астиг-матичный пучок в плоскостях симметрии ведет себя как обычный.
Расчет продольного спектра астигматичного резонатора несколько отличается от обычного. Набег фазы на оси пучка на отрезке длиной L равен в этом случае
Рассмотрим для общности кольцевой резонатор (рис. 1.10), хотя те же соображения могут быть применены и к линейному резонатору. Полный набег фазы в таком резонаторе равен
и L — полная длина резонатора. Как было показано в § 1.5 (см. вывод
(1.78)), Ai и Л2 — собственные значения матриц Mi и М2. Таким
А<р = kL - I argq[ + | axgqx - | axgq'2 + i argq2.
N
N
N
2=1 2=1 2=1
где
1.6. Астигматичный гауссов пучок 49
образом, продольный спектр резонатора определяется условием
А2 + D2
kL = 2id + i arccos —
+ L>i , 1
---------— arccos¦
2 2
(1.85)
где I — целое.
В заключение параграфа рассмотрим изменение математической формы гауссова пучка при повороте координатной системы вокруг оси z. Как отмечалось выше, астигматичный гауссов пучок обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, причем выражение
(1.79), описывающее этот пучок, записано в координатах, у которых в качестве координатных х- и ^/-плоскостей взяты как раз плоскости симметрии гауссова пучка. Иногда важно знать, как выглядит тот же самый астигматичный гауссов пучок в более произвольно ориентированной системе координат, в частности, в системе координат, развернутой вокруг оси z на угол Ф относительно плоскостей симметрии гауссова пучка.
