Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Пусть новые координаты выражаются через старые посредством соотношений
?не
Рис. 1.11. Поворот системы координат на угол Ф
где U — матрица поворота
и =
cos Ф — sin Ф sin Ф cos Ф
(1.86)
Это преобразование означает, что новые оси развернуты относительно старых на угол Ф против часовой стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси z (на рис. 1.11 ось z направлена на читателя, так как используется правая система координат) .
Для преобразования выражения (1.79) к новым координатам достаточно преобразовать в нем показатель экспоненты, так как лишь там имеется зависимость от ж и у. Для этого первые два слагаемых в показателе (опуская множитель ik/2) представим в виде квадратичной формы
W{x,y) = - + y- = {x,y)P
где
qi
р =
Q2
4 В.П. Быков, О.О. Силичев
50
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Учитывая (1.86), квадратичную форму W можно представить в виде
W = {x,y)U-lUPU~lU Q = (x',y’)R (у) , где 11~г — матрица, обратная U, R — матрица вида
( cos2 Ф , sin2 Ф ( 1 1 \ л ж\
Н------------------------------sm Ф cos Ф
R = UPU~1 =
qi Q2 \ qi q2
sin2 Ф , cos2 Ф
/1 1 \ . д. д. sin Ф
---------sm Ф cos Ф----------------1-------
\\qi <?2/ q\ q2 )
Таким образом, в новых переменных х' и у' астигматичный гауссов пучок описывается выражением
/ / / /\ G Г ik Г/со82Ф sin2 Ф \ /2 .
и(х ,у ,z ) = = ехр<^ — -------+--------Г +
л/0102 12 Л qi q2 J
qi qz
2 лч ,
т 1 IN//, /sin Ф COS Ф\ ,2l , .7 , • 1
+ 2 sm Ф cos Ф--------}x у +---------1------)v + ikz + up >,
\qi q2 У V qi q2 J J J
(1.87)
где gi и q2 равны
— 2 - zi - 2b1? q2 = z - z2 - ib2.
Может ли угол Ф принимать комплексные значения? Как выражение (1.79), так и выражение (1.87), каждое в своей системе координат удовлетворяют параболическому уравнению и приближенно — волновому. Так как угол Ф — не переменная, а параметр, не оказывающий никакого влияния на операции дифференцирования, производимые при подстановке выражения (1.87) в уравнение, то выражение (1.87) удовлетворяет параболическому и приближенно волновому уравнениям независимо от того, является ли параметр Ф вещественной или комплексной величиной. Но если параметр Ф является комплексной величиной, то это означает, что гауссов пучок (1.87) в этом случае не может быть приведен к симметричному виду (1.79) в координатах, связанных с его плоскостями симметрии. Точнее сказать, такое приведение может быть сделано, но при повороте на комплексный угол, т. е. при выходе из реального вещественного пространства. Все это наводит на мысль, что пучки, описываемые выражением (1.87) при комплексных значениях параметра Ф реально невозможны. Однако это неверно.
В конце концов несущественно, откуда, из какого исходного пучка возникает пучок (1.87); важно лишь, что он является решением волнового уравнения. Мнимости же исчезнут, если при комплексном Ф взять в качестве решений отдельно вещественную и мнимую части (1.87). Как мы увидим далее, такие пучки реально существуют и, более того, играют важную роль в приложениях.
1.7. Эрмит-гауссов пучок и высшие моды лазерного резонатора 51
§ 1.7. Эрмит-гауссов пучок и высшие моды лазерного резонатора, образованного сферическими зеркалами
Гауссов пучок, описанный в предыдущих параграфах, играет основную роль в теории и технике лазерных резонаторов, им описываются продольные моды простого линейного резонатора, образованного двумя сферическими зеркалами, — моды, которые называют также основными поперечными модами. На практике обычно (за редким исключением) стремятся устроить лазерный резонатор так, чтобы генерировались именно эти продольные или основные поперечные моды, так как у них наиболее простое и равномерное поперечное распределение интенсивности, простое и равномерное распределение получается также и в выходном пучке.
Кроме основных поперечных мод, в резонаторе имеются также так называемые высшие поперечные моды (иногда основные поперечные моды называют продольными, а высшие поперечные — просто поперечными). Свойства поперечных мод необходимо знать, ибо, во-первых, довольно часто используется многомодовый режим, во-вторых, хотя и редко, но бывают случаи, когда необходимо выделить какую-то высшую поперечную моду и организовать генерацию на этой высшей, а не основной моде, и, в-третьих, для выделения основной моды и предотвращения генерации на высших модах также необходимо знать свойства этих высших мод.
Высшие поперечные моды лазерного резонатора представляют собой обобщенные гауссовы или эрмит-гауссовы волновые пучки. Имеется несколько обобщений гауссова пучка; вся совокупность этих обобщений вместе с правилами преобразования пучков при их распространении в оптических системах и резонаторах составляет гауссову, или матричную оптику. Эрмит-гауссов пучок — это одно из возможных обобщений простого гауссова пучка.
В настоящем параграфе рассматриваются астигматичные эрмит-гауссовы пучки, т. е. пучки, у которых распределения полей в двух поперечных направлениях различны. Случай, когда астигматизм отсутствует, имеет свои особенности и рассматривается в § 1.8.
