Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 1.2. Лазерный резонатор, образованный сферическими зеркалами
Рассмотрим лазерный резонатор, образованный двумя сферическими зеркалами различной кривизны, изображенный на рис. 1.4. Такой резонатор сравнительно редко используется на практике, так как
Ri R2
внутри реальных резонаторов обычно располагаются те или иные дополнительные оптические элементы, например окна Брюстера. Однако для теории и вообще понимания роли резонатора этот резонатор
2*
20
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
очень важен, в теории резонаторов этот резонатор играет такую же роль, как атом водорода в спектроскопии.
Обращаясь к резонаторам, мы сталкиваемся с новым обстоятельством, а именно с граничными условиями, которым должна удовлетворять волна, являющаяся модой резонатора. В лазерных резонаторах конкретный вид граничных условий гораздо менее существен, нежели в резонаторах объемных, высокочастотных. Подробное обсуждение их роли отложим до более подходящего случая, а пока примем самое простое граничное условие. Будем считать, что волна и на зеркалах должна обращаться в нуль. Напомним, что в качестве величины и обычно используется одна из поперечных (по отношению к оси пучка) компонент электрического поля. Поэтому условие и = 0 на поверхности зеркала соответствует обычному в высокочастотной области требованию обращения в нуль касательной к поверхности металла компоненты электрического поля.
Итак, попытаемся удовлетворить граничным условиям на зеркалах резонатора, используя гауссов пучок. Раз поле должно обращаться в нуль, то гауссов пучок нужно использовать в форме стоячей волны, поскольку в стоячей волне имеются узловые поверхности — поверхности, на которых волна обращается в нуль. Идея состоит в том, чтобы одну из таких узловых поверхностей гауссова пучка совместить, скажем, с первым зеркалом резонатора, при этом некоторую другую узловую поверхность совместить со вторым зеркалом резонатора. Эта идея тем более привлекательна, что волновые фронты или эквифазные поверхности гауссова пучка — а узловая поверхность стоячей волны есть частный случай такой поверхности — имеют как раз сферическую форму. Стоячая волна, образуемая гауссовым пучком, имеет вид
G
и = . ехр
лА2 + Ъ2
kbr2
2 (z2 + b2)
cos
sin
kzr z 7
arctg - + kz + if
.2(z2 + b2) b
(1.21)
Для того чтобы амплитуда этой стоячей волны обратилась в нуль, необходимо, чтобы аргумент косинуса стал равным ттг + 7г/2, а аргумент синуса — mV, где шиш' — целые числа. Узловые поверхности гауссова пучка совместим с поверхностью зеркала в два приема. Во-первых, потребуем, чтобы волна (1.21) на оси z в точках ее пересечения с зеркалами обратилась в нуль, т. е. чтобы аргументы косинуса и синуса приняли соответствующие значения. Очевидно, в этом случае имеем соотношения
/ /74 (ш17Г + 7г/2,
kz\ — arctg(2i/o) + if — }
f ТП\ТГ
[гп^тг,
kz2 - arctg(z2/b) + <p = |m2?r
I m'2ir,
(1_22) + 7Г/2,
где индексы 1 и 2 указывают на отношение соответствующих величин
§1.2. Лазерный резонатор, образованный сферическими зеркалами 21
к первому и второму зеркалам. Во-вторых, потребуем, чтобы радиусы кривизны волновых фронтов в точках zi и Z2 совпадали с радиусами кривизны зеркал, т. е. согласно (1.14) положим
Ri —--------Ь z\\ —R2 =----\~ z2; (1.23)
zi Z2
при этом волна (1.21) обратится в нуль на всем зеркале, так как она обратилась в нуль в точке пересечения зеркала с осью 2. Обратим внимание, что волновой фронт, прогиб которого направлен в сторону возрастания z, имеет положительный радиус кривизны, фронт же с прогибом в сторону убывания 2 имеет отрицательный радиус кривизны. Радиусы Ri и R2 считаются оба положительными. Отсюда и разница в знаках при R\ и R2 в соотношениях (1.23).
Разность z\ — Z2 должна равняться расстоянию d между зеркалами 7 /1 ПЛ\
z\ — ?2 = d. (1.2 4)
Таким образом, получилась система из пяти уравнений с пятью неизвестными: zi, 22, fr2, tp и к. Отметим, что z\ и z2 суть расстояния до перетяжки пучка соответственно от первого и второго зеркал, эти параметры практически важны, поскольку обычно бывает необходимо знать положение перетяжки относительно зеркал резонатора. Разрешая указанную систему относительно неизвестных, можно найти тот гауссов пучок, который является модой исследуемого резонатора.
Число уравнений и неизвестных можно уменьшить. Так, вычитая почленно друг из друга уравнения (1.22), придем к одному уравнению
kd — arctg ^--------= П7Г, (1.25)
02 + Z\Z2
где п — целое число, равное разности mi и m2 или т[ и т^. Так как целое число п достаточно произвольно, то проводимые вычисления определяют не одну моду, а целый набор мод, зависящих от щ в связи с этим число п называют обычно продольным индексом или номером моды. При переходе к уравнению (1.25) выпала неизвестная фаза ер. Эта фаза практически несущественная величина, в частности, она определяет, имеется ли в перетяжке гауссова пучка узел, пучность волны или какое-либо ее промежуточное состояние. Но состояние волны в перетяжке трудно установить экспериментально, поскольку радиус пучка в области перетяжки почти не зависит от координаты 2 и положение перетяжки тем самым очень плохо определено, по крайней мере, в масштабе длины волны. Разумеется, при необходимости после определения параметров пучка фаза (р может быть определена из одного из уравнений (1.22).
