Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Следует отметить огромное разнообразие резонаторов, модой которых является гауссов пучок, при том, что все эти пучки являются разновидностями единственного астигматичного эрмит-гауссова пучка, описанного далее в § 1.7. Если учесть еще и простоту расчета мод, по крайней мере для резонаторов, имеющих плоскость симметрии, (правило ABCD), то становится ясно, что оптика гауссовых пучков есть незаменимое и весьма мощное средство исследования лазерных резонаторов. Даже если в резонаторе имеются негауссовы элементы, первоначальный расчет в пределах гауссовой оптики дает хорошую ориентировку для дальнейшего исследования.
Для того чтобы яснее оттенить свойства гауссова пучка, будем сравнивать его с плоской волной. Волновое движение в плоской волне описывается несколькими параметрами, такими как частота, амплитуда, направление и скорость распространения, фаза. Считается, что плоская волна занимает все пространство, следовательно, плоская волна является идеализацией, реально такие объекты не существуют. Тем не менее представление о плоской волне оказывается очень полезным. Математически плоская волна описывается простым соотношением
u(r, t) = Gexp(—iut + ikr + iip), (1-1)
где u(r,t) — величина, характеризующая волновое движение в точке г в момент времени ?, например, смещение частиц среды в поверхностной или звуковой волне, одна из компонент напряженности поля в электромагнитной волне и т. п. Частота и определяет скорость измене-
10
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
ния величины и со временем, волновой вектор к определяет скорость изменения величины и в пространстве. Направление волнового вектора к определяет собой направление распространения плоской волны. С частотой uj и волновым вектором к связаны такие величины, как период колебаний волны Т и длина волны Л:
Т = 27г/си, А = 27г/|к|;
отношение
v = о;/|к|
называется фазовой скоростью распространения волны.
По поводу выражения (1.1) для плоской волны необходимо сделать два замечания. В природе существует много типов волнового движения: волны на поверхности жидкости, упругие волны (в частности, звук), электромагнитные волны (в частности, радиоволны, свет), в соответствии с гипотезой де Бройля можно говорить об электронных волнах и вообще о волнах вещества и т. д. Несмотря на специфику каждого типа волн, все они имеют много общих черт. Например, для всех этих волн можно ввести представление о плоских волнах
(1.1). Правда, некоторые из этих волн могут быть многокомпонентными, т. е. волна в каждой точке описывается не одной, а несколькими величинами. Электромагнитные волны, интересующие нас в данной книге, как раз являются многокомпонентными. Они описываются в каждой точке пространства электрическим вектором (3 компоненты) и магнитным вектором (3 компоненты), всего б компонент. Однако электромагнитные поля, которые рассматриваются ниже, как правило, устроены так, что все их компоненты могут быть выражены через одну выделенную компоненту. Тогда достаточно рассмотреть только волну, соответствующую выделенной компоненте. Обычно в качестве выделенной компоненты используется наибольшая поперечная (по отношению к направлению распространения поля) компонента электрического поля. Более детально этот вопрос будет рассмотрен в § 1.9. Здесь же отметим, что подобное однокомпонентное приближение (сведение к одной компоненте в общем случае может быть сделано лишь приближенно) является очень эффективным и позволяет описать подавляющую часть свойств лазерных резонаторов.
Второе замечание касается комплексного представления волны
(1.1). Подобное представление или запись волновых величин широко распространено и очень удобно. Возможность такой записи основана на простом обстоятельстве, а именно, если некоторая комплексная величина удовлетворяет тому или иному линейному дифференциальному уравнению (или даже системе таких уравнений) с вещественными коэффициентами, то тому же уравнению удовлетворяют отдельно вещественная и мнимая части этой комплексной величины. Имеет место и обратное положение: если некоторые две величины удовлетворяют упомянутому выше дифференциальному уравнению, то ему же удо-
§1.1. Гауссов пучок в свободном пространстве
11
влетворяет и комплексная величина, в которой первые две величины являются соответственно вещественной и мнимой частями.
Разумеется, всякая физически наблюдаемая величина является вещественной. Поэтому, выполнив те или иные математические преобразования в удобной комплексной форме, для получения физически наблюдаемых величин следует переходить к вещественным величинам. Так, взяв вещественную часть и, получим
и\ (г, t) = Re и (г, t) = G cos(cot — kr — ip) (1.2)
— вещественное выражение, описывающее физически наблюдаемое явление распространения плоской волны. Мнимая часть и также может быть использована в качестве вещественного выражения для волны
U2 (г, t) = — Im u(r, t) = G sin(cut — kr — ip);
это выражение может быть получено и из выражения (1.2), если в последнем фазе ip придать новое значение, равное <р + 7г/2.
В данной книге мы будем интересоваться почти исключительно монохроматическими волнами, т. е. волнами с фиксированной частотой; описывающие такие волны выражения всегда содержат множитель
