Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
e~iut.
Именно из-за того, что этот множитель всегда один и тот же, он может быть опущен во всех выражениях, за исключением тех, где его роль специально подчеркивается. Так, для плоской волны получается выражение
«(г) = Ge<kr+<v. (1.3)
Если вещественную часть волны (1.3) умножить на cos сut или sineut, то получится
// Ч Г COSCJt ^ ч Г COS Сdt
и (г, t) = Re и х < = G cosfkr + ip) х <
v ’ ' \sincut v \ sinuot
— выражение, описывающее стоячую волну.
Таким образом, вычисляя вещественную часть волны (1.1), получаем вещественное выражение для плоской бегущей волны. Если же вычислить вещественную часть той же волны (1.1), но с опущенным временным множителем, и умножить эту часть на cos сut или sineut, то получится вещественное выражение для стоячей волны. То же правило остается справедливым и для волн более сложной конфигурации, нежели плоская волна.
Иногда амплитуду волны G посредством соотношения
G = еа, a = \nG
переводят в показатель степени, при этом волна типа (1.1) принимает вид
u(r,t) =еа+гЬ, (1.4)
12
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
где а и b — некоторые функции аргументов г и t. В этом случае следует понимать, что вещественная часть показателя степени описывает амплитудное распределение волны (1.4), а мнимая часть того же показателя описывает зависимость фазы от г и t. В некоторых случаях показатель степени может представлять собой выражение, в котором вещественная и мнимая части не разделены, тогда для отыскания амплитудного и фазового распределений достаточно произвести такое разделение известными математическими методами.
Вернемся теперь к описанию гауссова пучка. От плоской волны он отличается прежде всего тем, что занимает не все пространство, а некоторую ограниченную его часть, основная часть гауссова пучка сосредоточена внутри фигурной трубки, образованной вращением гиперболы вокруг той ее оси, которую гипербола не пересекает (выберем эту ось в качестве оси z координатной системы) (рис. 1.1). Вдоль оси z гауссов пучок простирается от — оо до +оо. Поле гауссова пучка отлично от нуля как внутри трубки, так и вне ее, но вне трубки оно быстро убывает при удалении от оси пучка и становится ничтожно малым по сравнению с полем внутри трубки.
Математически гауссов пучок описывается следующими двумя эквивалентными выражениями:
G
z — \
ikr
2
z) = -mi ехР [2(z _ ib) + ikz + iip ’
, ч %G Г kbr .( kr z 4- z I 1 I M
= 7PTF expГ 2(^TF) + • (2(STW) - arctg b+kz + Vb
(1.6)
где r = x1 + у2 — расстояние от точки наблюдения в пучке до оси z и G — амплитудная константа. Этот пучок приближенно и с учетом других компонент поля удовлетворяет уравнениям Максвелла (см. § 1.9 и § 1.12) при зависимости от времени вида e~lut (в выражениях (1.5) и (1.6) эта зависимость, как условлено, опущена). Обратим внимание, что зависимость показателя экспоненты от поперечных координат квадратична. Как мы увидим далее, эта квадратичность является существенным качеством гауссова пучка. Зависимость от продольной координаты z более сложная, кроме того, от z зависит также и пред-экспоненциальный множитель. В выражениях для гауссова пучка фигурирует вещественный параметр 6, имеющий размерность длины и называемый параметром гауссова пучка или чаще параметром кон-фокальности гауссова пучка. Гауссов пучок считается заданным, если известны его параметр b и волновое число
k — ujjc — 2тг / А.
Иногда в качестве основных используют параметры а и к, причем
b = ка2. (1.7)
§1.1. Гауссов пучок в свободном пространстве
13
Нетрудно видеть, что второе выражение для гауссова пучка (1.6) отличается от первого (1.5) тем, что в нем в показателе экспоненты разделены вещественная и мнимая части. Это обстоятельство удобно тем, что позволяет исследовать амплитудное и фазовое распределения в гауссовом пучке и другие его характеристики. Преимущества же первой формы выяснятся позднее. Отметим, что гауссов пучок, поскольку он выражается лишь через г2, обладает цилиндрической симметрией.
Рассмотрим амплитудное распределение в плоскости z — 0. Из (1.6), опуская множитель г, получаем
u(r,z = 0) = Gexp(-^)- (1.8)
Подобная зависимость в математике хорошо известна и носит название гауссовой экспоненты. От этой зависимости произошло и название всего пучка — гауссов пучок. Как видим, параметр а характеризует поперечный размер гауссова пучка в плоскости z — 0. В точке г — а зависимость (1.8) имеет перегиб, т. е.
д2и/дг2 = 0
при г = а. Амплитуда гауссова пучка спадает в е раз на расстоянии г = ал/2 от оси пучка. Плотность энергии в пучке пропорциональна квадрату модуля и:
\u(r, z = 0)\2 = G2 ехр{-г2/а2)
и, следовательно, плотность энергии пучка спадает в е раз при г = а.
Величину а обычно называют полушириной гауссова пучка в перетяжке (см. ниже).
Отойдем теперь от плоскости z = 0 и рассмотрим распределение плотности энергии при некотором определенном z:
1“М)|2 = ^0ХР [-(Z2+l)/kb\- (L9)
Как видим, зависимость плотности энергии от радиуса качественно такая же, как и в плоскости z = 0, т. е. остается гауссовой экспонентой, однако характерный поперечный размер гауссова пучка изменился. Он стал равным
