Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
q q' q q'
Первое из этих равенств имеет простой физический смысл; согласно
(1.16), его можно представить в виде
I _ i - 1
R F ~ R
где R и R! — радиусы кривизны волновых фронтов гауссовых пучков в месте расположения фазового корректора. Это соотношение напоминает известную формулу линзы. Правда, в формуле линзы несколько иные знаки, однако это следствие того, что в ней положительные расстояния до предмета и изображения отсчитываются в разные стороны от линзы. Если эту непоследовательность в формуле линзы исправить, то она точно совпадает с соотношением (1.39).
Второе из равенств (1.38) также имеет простой смысл — размер перетяжки при прохождении фазового корректора не изменяется, что впрочем ясно и из физических соображений, поскольку толщина линзы пренебрежимо мала по сравнению с ее фокусным расстоянием.
Умножим второе из равенств (1.38) на г и сложим полученное соотношение с первым из равенств (1.38), получим соотношение
1-1-1 q! q F ’
или
J — 4F
7, (1.39)
28
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
Это и есть искомый закон преобразования комплексного параметра гауссова пучка при его прохождении через фазовый корректор (линзу). Этот закон можно представить в виде правила ABCD (1.18), если фазовому корректору (линзе) сопоставить лучевую матрицу
L = 5) , (1.40)
которую называют оператором или матрицей прохождения гауссова пучка через линзу, и Р определено согласно (1.37).
Кроме равенств (1.38) имеет место также равенство амплитуд
G/\q\=G'/\q’\ (1.41)
и фаз
ю + arctg—-—— pJ arctg—-—(1-42) Z — ZI z — z\
где z — координата квадратичного корректора. Для того чтобы понять роль равенства (1.41), введем вместо амплитудного множителя G величину G = G/л/Ь, которая так же, как и G, является константой. Тогда равенство (1.41) примет вид
^ (1.4 3)
+ ^(г-г;)3 + 1>“
Как нетрудно видеть (см. (1.10)), множители при G и G' в этом равенстве обратно пропорциональны поперечному радиусу пучка w(z), который согласно второму из равенств (1.38) не меняется при прохождении пучка через линзу. Поэтому из (1.43) следует
G = G;
это равенство является математическим выражением отсутствия потерь в фазовом корректоре (линзе). В §1.4 показывается, что при отсутствии потерь и на других элементах резонатора его собственные частоты вещественны и затухания колебаний нет.
Равенство (1.42) говорит о том, что фаза гауссова пучка на оси пучка не изменяется при прохождении через фазовый корректор. Если бы было необходимо учесть независимый от поперечных координат фазовый добавок, вносимый линзой, учесть, скажем, толщину линзы таким образом, то это можно было бы сделать как раз в равенстве (1.42). В этом случае в его правой части появится дополнительное слагаемое А ср. Равенство (1.42) важно для определения спектра лазерного резонатора (§1.5).
Рассмотрим теперь отражение гауссова пучка от вогнутого сферического зеркала. Удобно падающий и отраженный гауссовы пучки рассматривать каждый в своей системе координат так, чтобы оба
1.3. Прохождение гауссова пучка через тонкую линзу
29
гауссова пучка в этих системах координат распространялись в положительном направлении оси 2. Таким образом, для падающего пучка ось z следует направить в сторону зеркала, а для отраженного пучка ось z должна быть направлена от зеркала. Так как нами всегда используется правая система координат, то изменение направления оси z на обратное требует, чтобы и оси х и у изменили на обратное свое направление; однако поле гауссова пучка квадратично зависит от поперечных координат и изменение их знака не играет роли. При таком выборе координат действие сферического зеркала эквивалентно действию тонкой линзы, т. е. набег фазы в центре больше, чем на краю зеркала. Таким образом, сферическое зеркало является квадратичным фазовым корректором и вносит в гауссов пучок дополнительный набег фазы ДФ (1.36), где Р — оптическая сила зеркала, равная
где R — радиус кривизны зеркала.
Следовательно, действие сферического зеркала на гауссов пучок может быть описано правилом ABCD, если сферическому зеркалу сопоставить матрицу (или оператор отражения)
где Р — определяется соотношением (1.44).
Параметр Р в выражении (1.36) может принимать и комплексные значения. Рассмотрим сначала, какой смысл имеют чисто мнимые значения Р = —i/F1. Легко понять, что теперь вместо равенств (1.38) имеют место равенства
Они означают, что пучок, проходя через такой корректор, не изменяет кривизны своего волнового фронта, но поперечные размеры его меняются. Поэтому устройство с такими характеристиками естественно назвать амплитудным квадратичным корректором; его называют также гауссовой диафрагмой. Величина F' представляет собой характерный параметр гауссовой диафрагмы с размерностью длины или ее мнимое фокусное расстояние.
Если параметр Р — комплексный, то это означает, что на пути пучка последовательно и рядом расположены линза и гауссова диафрагма. Такое устройство можно назвать комплексным квадратичным корректором. Он описывается матрицей (1.40) с комплексным
Гауссовы диафрагмы довольно трудно реализовать практически, хотя они представляют значительный интерес. Их преимущество перед обычными диафрагмами состоит в том, что при выделении основ-
