Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, расчет лазерного резонатора матричным методом состоит из двух этапов. На первом этапе вычисляется матрица М, характеризующая оптическую систему резонатора и представляющая собой произведение (1.62) матриц отдельных оптических элементов системы. На втором этапе по элементам матрицы М в соответствии с соотношениями (1.67) определяются радиус кривизны волнового фронта основной моды резонатора и ее поперечный размер. Имеется также третий этап, заключающийся в определении параметров спектра резонатора, — он будет изложен далее.
Отметим, что при вычислении матрицы М фиксируется некоторое входное сечение резонатора (оно же — выходное сечение), поскольку фиксируется некоторая первая матрица М\. Это сечение в дальнейшем будем называть реперным. Величины (1.67), полученные с помощью матрицы М, характеризуют основную моду резонатора именно в этом, реперном сечении. Если необходимо знать параметры моды в каком-то ином сечении, то они определяются матрицей, относящейся к этому новому сечению, и связанной с прежней матрицей соотношением
MHOB = VMV-\ (1.68)
где V — матрица, описывающая распространение гауссова пучка от старого сечения к новому, и У-1 — матрица, обратная V.
§1.5. Матричный метод расчета лазерных резонаторов
39
Однако проще всего параметр qnов, характеризующий моду в новом сечении, можно найти с помощью правила ABCD:
_ Avq + Bv днов “ Cvq + Dv ’
где Ay, By, Су, Dy — элементы матрицы V и q — параметр, характеризующий моду в исходном сечении.
Соотношение (1.67) позволяет найти еще одну характеристику резонатора — положение перетяжки гауссова пучка, являющегося модой этого резонатора. В перетяжке фронт волны плоский, т. е. R = оо, согласно первому из соотношений (1.67) это означает, что в матрице резонатора, отнесенной к сечению перетяжки, диагональные элементы должны быть равны:
A — D. (1.69)
Будем предполагать, что перетяжка отстоит на расстояние I от исходного сечения в положительном направлении оси z пучка. Матрица трансляции на расстояние I и обратная ей имеют вид
т=(1 }), r-‘(/)=(J
следовательно, матрица резонатора, отнесенная к сечению перетяжки, согласно (1.68), равна
Мперетяжки = Т(1)МТ~\1) = ^ у01 ~cf t-a + D1 + В) •
Потребовав, чтобы выполнялось условие (1.69), получим
1=^А. (1.70)
Таким образом, положение перетяжки моды резонатора найдено — перетяжка отстоит от исходного сечения на расстояние I, определяемое соотношением (1.70).
Рассмотрим два примера применения правила ABCD. Сначала применим правило ABCD к резонатору, уже изученному в § 1.2 (рис. 1.4). Пусть вдоль оси резонатора от некоторого исходного сечения, прилегающего к первому зеркалу, в сторону второго зеркала распространяется гауссов пучок. На своем пути гауссов пучок последовательно проходит отрезок свободного пространства длиной d, отражается во втором зеркале, снова проходит отрезок свободного пространства длиной d и, наконец, отражается в первом зеркале. Следо-
вательно, матрица всей оптической системы, образующей резонатор, отнесенная к исходному сечению около первого зеркала, может быть представлена в виде произведения четырех матриц:
М = N(P1) • T{d) • N(P2) • T(d),
40
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
где N(P) — оператор отражения от зеркала (см. (1.45)). Перемножение матриц не вызывает затруднений, и матрица М принимает следующий вид:
1 -P2d 2 d-P2d2
КРМ -Pi-P2 1 - 2P\d - P2d + PxP2d2
M =
(1.71)
Воспользовавшись теперь первым из соотношений (1.16), получим для радиуса кривизны R волнового фронта гауссова пучка значение
R = — R\,
т. е. кривизна волнового фронта гауссова пучка около первого зеркала совпадает с кривизной первого зеркала, различие же в знаке между R и Ri не существенно, так как оно отражает лишь то обстоятельство, что радиус кривизны вогнутого зеркала всегда считается
положительным, независимо от того, куда оно обращено вогнутостью, в то время как радиус кривизны волнового фронта пучка положителен, если он обращен вогнутостью в сторону убывания z. Совпадение кривизны зеркала и волнового фронта пучка естественно, этот вопрос уже обсуждался в § 1.2 и там именно так подбирался гауссов пучок, являющийся модой рассматриваемого резонатора.
Рис. 1.9. Лазерный резонатор с плоскими зеркалами и внутренней линзой
Воспользовавшись далее вторым из соотношений (1.67) и подставив в него конкретные значения матричных элементов (1.71), получим для эффективного радиуса пучка соотношение
d(d-R2)
(d - Ri)(Ri + R2 - d)'
совпадающее с (1.30). Определим далее расстояние первого зеркала от перетяжки, согласно (1.70), оно равно
, _ 1 , 2P1d-PiP2d2 _ d(R2 — d)
~ 2 PxP2d - Pi - P2 ~ 2d - R1 - R2 ’
что с точностью до знака совпадает с выражением (1.26).
Рассмотрим теперь резонатор, образованный двумя плоскими зеркалами, между которыми расположена тонкая линза (рис. 1.9). Отражениями от поверхностей линзы будем пренебрегать, они и в обычных условиях невелики (~ 4% по мощности), но могут быть сделаны
§1.5. Матричный метод расчета лазерных резонаторов
41
и совсем малыми посредством нанесения на них просветляющих покрытий. Подобный резонатор важен практически, часто роль линзы в нем исполняет активный элемент, оптическая сила в котором наводится в результате оптической накачки и неравномерного разогрева элемента.
