Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Гауссов пучок, распространяясь вправо от линзы, проходит два отрезка свободного пространства, каждый длиной d/2; так как отражение в плоском зеркале не изменяет параметра гауссова пучка, то эти два отрезка можно рассматривать как один отрезок свободного пространства длиной d. Затем гауссов пучок проходит через линзу, еще раз отрезок свободного пространствах длиной d, и еще раз линзу. Таким образом, матрица всей оптической системы может быть представлена в виде произведения четырех матриц:
М = LT(d)LT(d)
и далее расчетов можно не делать, поскольку предыдущий рассмотренный нами резонатор описывался точно такой же матрицей (1.71). Положив Ri = R2 = 2F в соотношениях для R и w, получим для радиуса кривизны волнового фронта на линзе следующее значение:
R = 2F,
а поперечный радиус пучка на линзе равен
/2 F I d
W ~ V V 4F~d'
Сделаем оценку радиуса w для типичных условий. Пусть d— 10 см, Л = 10-4 см, F = 12,5 см,
тогда
w ~ 1,4 • 10-2 см.
Если радиус активного элемента г о = 0,2 см (это типичный размер активного элемента), то он примерно в 15 раз больше радиуса основной моды резонатора и, следовательно, в таком резонаторе кроме основной будет возбуждаться большое число высших поперечных мод. В основную моду будет излучаться лишь малая доля энергии, запасенной в активном элементе.
Покажем теперь, что решение уравнения (1.63) или (1.64), получаемого из правила ABCD для резонатора, дает информацию не только
о прямом пучке, но и о встречном. Встречный пучок в линейном резонаторе получается из прямого после его частичного прохода по резонатору; поэтому его параметры можно вычислить с помощью матрицы (1.68) или правила (1.69). В кольцевом же резонаторе (см. § 1.14) встречный пучок независим от прямого и для него нужно отдельно составлять и решать уравнение (1.63). Однако в обоих этих случаях,
42
Гл. 1. Оптика гауссовых пучков
как уже сказано, информацию о встречном пучке можно получить непосредственно из уравнения (1.63) или (1.64) для прямого пучка.
Следует отметить, что все лучевые матрицы кроме тех, которые описывают прохождение гауссова пучка через диэлектрическую поверхность, имеют один и тот же вид, как для прямого, так и для встречного гауссовых пучков. Можно понять, что в матрицах 10 и 11 табл. 1.2, описывающих прохождение гауссова пучка через диэлектрическую поверхность, при переходе к встречному пучку следует поменять местами индексы 1 и 2 и изменить знак радиуса кривизны поверхности R. Следовательно, при переходе от прямого пучка к встречному лучевая матрица изменяется в соответствии с правилом
т. е. диагональные элементы этой матрицы меняются местами.
Таким образом, согласно изложенному в начале этого параграфа для встречного пучка матрица, описывающая резонатор, представляет собой произведение тех же матриц М*, которые составляют матрицу М (1.62) для прямого пучка, но взятых в обратном порядке:
штрихом отмечено то, что матрица, описывающая прохождение гауссова пучка через диэлектрическую поверхность, изменена в соответствии с приведенным выше правилом.
Введем матрицы
и преобразуем Мвстр следующим образом Мвстр = оГ1 аМ^оТ1 аМ^оГ1 • ... • аМдиэла-1 • ... • аМ]уа~1а. (1.74) Можно убедиться, что преобразование
превращает г-й сомножитель в матрицу, обратную матрице, описывающей прохождение прямого пучка через соответствующий гауссов оптический элемент. Следовательно,
Мвстр = аГ1 аМ^аГ1 аМ^оГ1 • ... • «МдиэлО!_1 • ... • аМ]уа~1а =
Таким образом, матрицы, описывающие прямой и встречный пучки
(1.72)
встр
диэл
(1.73)
aMiOL 1 — М{ 1, аМтэла 1
а 1(М]у • ... • М\)а = а ХМ 1а. (1.75)
§1.5. Матричный метод расчета лазерных резонаторов
43
различаются лишь переставленными диагональными элементами. Согласно (1.66) переход от Мпрям к Мвстр приводит к изменению знака вещественной части комплексного параметра q. В свою очередь это приведет к изменению знака радиуса кривизны волнового фронта пучка. Следовательно, волновые фронты прямого и встречного пучков совпадают — изменение знака радиуса кривизны отражает лишь изменение направления распространения пучка. Мнимая часть параметра q не изменяется при переходе от Мпрям к Мвстр и поперечные ширины прямого и встречного пучков одинаковы.
Следует особенно подчеркнуть, что приведенные рассуждения о встречных пучках справедливы в случае, когда матрицы Mi вещественны, т. е. предполагается, что резонатор не содержит гауссовых диафрагм. Если же резонатор такие диафрагмы содержит, то комплексные параметры прямого и встречного пучков, по-прежнему, определяются соотношением (1.66). Однако разделение на вещественную и мнимую части в этих параметрах будет происходить иначе. Это означает, что радиусы кривизны волновых фронтов и поперечные ширины встречных гауссовых пучков будут различными.
Матричный метод позволяет рассчитывать спектр лазерного резонатора. Этот спектр возникает из естественного условия, что гауссов пучок, обходя резонатор, приобретает набег фазы, который при замыкании пучка в реперной плоскости должен быть кратен 2тг. Вклад в набег фазы дают все оптические элементы резонатора. Наибольший вклад дают отрезки свободного пространства, которые мы рассматриваем как отдельные оптические элементы, а также отрезки диэлектриков, например активные элементы; меньший вклад дают тонкие линзы и совсем малый вклад дают зеркала, но все же этот вклад, строго говоря, не равен нулю, так как поле немного проникает как в диэлектрические, так и в металлические зеркала. При расчете продольного спектра следует все эти вклады сложить и сумму приравнять 2тг1, где
