Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Л=у, (5.36)
где v — скорость материальной точки. В этой функции Лагранжа учтена и возможность отражения материальной точки от стенок эллипсоида, поскольку она не зависит от знака компонент скорости. В эллипсоидальной системе координат функция Лагранжа (5.36) имеет вид
А = Ц2 + Mrf + N(2, (5.37)
(5.38)
где
г _ (у-€)(?-€) м _ (v-Q(C-v)
8 D(0 ’ 8D(V) ’
л г _ (С - Ш - у)
8D(Q •
Из (5.37) следуют уравнения Лагранжа
= 0’ i(2^>-ir0’ 1=°’
или в более подробной записи
oTC^oifdL с dL ¦ дЬ Л (дЬ с2 дМ ,2 , ON i2\
280
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
W^O'(dM .дМ:дМ:\ (дЬ -2 ОМ .2 dN :2\ п 2M, + 2,(—„ + w{ + —<)-(-{ + —„ +^<j=0,
¦,Mf^orleN Л /8L я.дМ ,2,dN „
ш+2<:(—|+—„ + _<:)-(_{ +_, + _< j =о.
(5.39)
Умножая эти уравнения соответственно на ?7(^;, и г]^( и складывая их, получим
Сч^ + С*м^+ ***?> +
+ c^2i + +
+t2ri((ri -оЩ+?2сые - о Щ+v2i <(? +
+ ~7l)^T + (2?v(t - С) ^ + с2^(»? - С) ^ = 0. (5.40)
Воспользовавшись очевидными равенствами (см. 5.38))
(v-0d^ = L, (С~0Щ = ь,
tt-v)^r = M, (С-V) д-^г = м,
^ " ас (C-C)f = iv, (,-C)f = iv,
из (5.40) получаем
C,L ® + «м dJ§l + ,,«JV Ш + “ +
+ «ч2 ^ + п(С‘ + ¦?? + ч’м + i‘iv = o.
CLL (JLL CLL (JLL CLL
Это равенство можно записать в виде
±((vLe+tfMf)2+rtN(2)=0;
отсюда следует, что выражение в скобках есть интеграл движения
СпЦ2 + ttMr,2 + ti?N(2 = 11} сохраняющийся, очевидно, и при отражениях материальной точки от стенок эллипсоида.
Другой интеграл движения получим, если уравнения (5.39) до-множить соответственно на (( + 77)?, (( + ?)/) и (77 + ?)? и сложить. Производя после этого преобразования, подобные проделанным выше, получим
Jt [(С + v)Li2 + (С + ОМг? + (v + 0N(2} = о,
5.4- Движение короткого (фемтосекундного) волнового пакета 281
т. е. имеет место интеграл движения
(С + y)Li2 + (С + ОМг,2 + (Г] + ONC2 = h-
Сохраняющейся величиной, т. е. интегралом движения является также функция Лагранжа (5.37). Таким образом, всего имеется три интеграла движения
Li2 + Mil2 + TVС2 = /о,
(г,Ц2 + cm2 + VZN(2 = h, (5.41)
(С + v)Li2 + (С + OMrf + (V + ОЩ2 = I2;
это есть линейная система уравнений относительно неизвестных L?2, Mfj2 и ДГС2. детерминанты которой равны
А = «-*?)(»?-?)«-?)>
А, =/о (С-??) №-?)№-?), а2 = 10(С - ?)(А - v)(#2 - ц),
Дз =/o(»?-0(C-^i)(C-^2),
где
lo *0
Следовательно, из (5.41) получаем
t2 _ Т дт *2 _ т {&1 -Г])
L? = 1о V 7Ч ; Mfj = I0
(v-m-o ’ ' (с-m-v) ’
ЛТ/-2 _ т (^l - 0(^2 - С)
"с (n-<m-o '
Из этих соотношений получаем
ds = l(ri- 0(С - о ^
~0D(0
= I (С - v)(v - О
2 \/(^1 - »?)№ - ri)D(ri)
= Uc-v)(c-o dc
2 \/(^i -0(^2 -C)-D(C)'
Переписав эти равенства в виде
d? _ 2 ds
-od(o (ч-о(с-о’
dr] _ —2 ds
\/($1 - 7/)(^2 - T])D(r]) (C_^)(^“0’
_ 2 ds
V№-C)(*-CMC) “ (С-Ш-0
(5.42)
282
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
и сложив их почленно, убеждаемся, что правая часть обратится в нуль:
d? dr]
V(01--?)?>(?) V(0i -4)(02-ri)D(r,)
+
+
dC
VWi -1)№ - two
= 0. (5.43)
Умножая равенства (5.42) соответственно на ?, г/ и ? и почленно складывая их, получим
r/drj
V(0i -0(^-0D(0 -4)(#2-4)D{rj)
+
+
CdC
= 0. (5.44)
Соотношения (5.43) и (5.44) представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, определяющие траекторию материальной точки (или волнового пакета), т. е. луча в эллипсоидальной системе координат. Умножая (5.43) на 01 и вычитая из него (5.44), получим
d? л/tii - С dr] д/01 - г] , d( д/01 ~ С
+
= 0;
= 0.
y/(02-OD(O - n)D(n) V(0*-OD(O
аналогично, умножая (5.43) на 02 и вычитая из него (5.44), получим
d? л/02 - ? dr] д/02 - Г]_с?С л/02 - С
V(0i -0D(0 VW^nWn) y/(#i-0D(0
Интегрируя эти соотношения, получим
$l(0 + ®2(v) + Фз(С) = Фо,
Ф1(0 + Фг(»?) + Фз(0 = Фо,
где
(5.45)
(0i - 0
С)
-0D(0’
*i(?) /^v (01-ewe)’
ф2^) = /^уУ^?у’ *»«) = -/*
(02 - С)
-ow
(5.46)
Система (5.45) представляет собой неявное уравнение прямой в эллипсоидальных координатах, которая касается поверхностей 0i = const и
§5.5. Эллипсоидальный резонатор — волновое решение
283
$2 — const. Эти соотношения определяют зависимость двух координат от какой-либо третьей или зависимость всех трех координат от какого-либо независимого параметра.
При отражении материальной точки (или волнового пакета) от поверхности эллипсоида, а также при их прохождении мимо поверхностей и $2 или пересечении координатных плоскостей, одна из скобок в подкоренных выражениях в (5.46) обращается в нуль, перед соответствующими корнями необходимо изменить знаки на обратные.
Рис. 5.13. Зависимость ? от Ф
Так как при этом одновременно меняется направление интегрирования на обратное, то функции Ф и Ф либо все время убывают, либо все время нарастают. Схематически зависимость ? от Ф1 показана на рис. 5.13.
Таким образом, система (5.45) полностью определяет движение короткого волнового пакета в эллипсоидальном резонаторе.
§ 5.5. Эллипсоидальный резонатор — волновое решение
Рассмотрим колебания эллипсоидального резонатора, описываемые уравнением Гельмгольца
Аи + к2и = 0, (5.47)
где к = и/со = 27г/А — волновое число (cj, со, А — соответственно частота, фазовая скорость и длина волны). Будем считать, что на поверхности S резонатора имеет место одно из граничных условий
