Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Быков В.П. -> "Лазерные резонаторы " -> 101

Лазерные резонаторы - Быков В.П.

Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 320 c.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка): lazernierezonatori2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 113 >> Следующая

A. u(x,y,z)\s = О,
= о (5'48)
S
В § 5.3 эта задача решена в рамках геометрической оптики, дополненной фазовыми условиями, сформулированными на основе простых
физических соображений.
Впервые волновое решение задачи о колебаниях эллипсоида дано в статье JI.A. Вайнштейна [143], стимулированной геометро-оптическим
в-
284
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
решением [141,147]*). Однако примененная там так называемая Эйри-асимптотика не всегда удачна. Она не учитывает симметрии задачи, требует сшивания решений на отдельных интервалах, а для колебаний четвертого типа оставляет неясным вопрос, где следует производить такое сшивание. Поэтому ниже дается решение этой волновой задачи, основанное на работе [144].
Задача о колебаниях в трехосном эллипсоидальном резонаторе может быть основной для решения широкого класса прикладных задач, в частности, в работе [145] дано решение задачи об электромагнитных колебаниях эллипсоида в асимптотическом приближении [146], опирающееся на решение, данное ниже. Для решения уравнения Гельмгольца (5.47) в нем производится разделение переменных, а полученные таким образом обыкновенные дифференциальные уравнения Ламэ решаются методом эталонных уравнений [146]. При этом широко используется информация, которую дает изложенное в § 5.3 геометрооптическое решение.
В эллипсоидальных координатах ?, 77, ( уравнение (5.47) имеет вид
к - v)vm| (\/ш|)+(с - оу/^шщ {^ш^) +
+ (я- Ол/ЩО ^ (VW) ^)+\ *2« - Г7)(Г7 - 0(С - ?)« = О,
(5.49)
где D($) = (а2 — $)(b2 — $)(с2 — $) и а, Ь, с — полуоси эллипсоидального резонатора. Вводя новые переменные А, /х, г/, связанные с ?, 77, ( соотношениями
dA = d?/(2>/W), dfi = drl/(2y/^D^j), dv = d(/( 2/0(0),
(5.50)
приводим уравнение (5.49) к виду //- ч д2и (/. .ч д2и
(С-ч)^ + (С-0д^ +
+ (V - 0 0 + fc2(C - п)(я - т - = о, (5.51)
где ?, 77, ( — монотонные функции от А, /х, v. Для разделения переменных положим
и(\,1л,р) = Ui(A)u2(m)u3(i/);
*) В этой статье он писал: «В работе В.П. Быкова [147] исследованы,
в рамках геометрической оптики, дополненной квантовыми условиями, — собственные колебания трехосного эллипсоида. Данная статья является дополнением к работе [147] и посвящена аналитическому решению той же задачи».
§5.5. Эллипсоидальный резонатор — волновое решение
285
тогда уравнение (5.51) можно представить в виде определителя
1 d2u\
Ul dX2
d2U2
+—
U2
d[i2 1 d2us us dis2
Вследствие линейной зависимости его столбцов имеем
- fc2f
— k2rj Г]
— k2v V
= 0.
d ui
+ k2p(t;)ui = 0,
d U2 d(i2
- k2p(r))u2 = 0,
d2U3
dis2
+ k2p(()u3 = 0, (5.52)
где
p(0) = (i?! - 0)(#2 - 1?) = k~2(k2tf2 -R&-Q)
и R, Q — константы разделения. Уравнения (5.52) есть так называемые волновые уравнения Ламэ. Рассмотрим последовательно четыре типа колебаний эллипсоида, описанные в § 5.3.
Сначала несколько слов о граничных условиях. Условия (5.48) дают краевые условия лишь для первого из уравнений (5.52), и то только для одного конца изменения ?. Краевые условия для второго конца интервала изменения ?, а также для второго и третьего уравнений (5.52) получаются из свойств симметрии эллипсоида. Так как эллипсоид симметричен относительно трех декартовых плоскостей, то решения уравнения (5.47) должны быть симметричны или антисимметричны относительно этих плоскостей. Следовательно, на этих плоскостях симметрии либо сами решения, либо их производные должны обращаться в нуль. Из этих граничных условий следует, что корни и $2 функции р($) должны быть действительны и расположены одним из следующих четырех способов:
г‘2 ^ q ^ 2.
I.
II.
III.
IV.
О < i 0 <
< с 1 < с2
Ъ1 <$2 < а* с2 2 < ь2:
с2 <д 1 < b2, Ъ2 <д2 < а2
с2 < < $2 < Ь2.
(5.53)
В противном случае решение одного из уравнений (5.58) на краю интервала изменения ?, г] или ( будет монотонным и не сможет удовлетворить граничным условиям. Четыре условия (5.53) соответствуют четырем типам колебаний эллипсоида, описанным в § 5.3.
Обратимся теперь к колебаниям первого типа, у которых каустическими поверхностями являются эллипсоид (? = ) и двуполостной
гиперболоид (? = $2)- На интервале изменения ? имеется одна точка поворота — корень функции р(?). Поэтому в качестве эталонного
286
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
уравнения к первому из уравнений (5.52) возьмем уравнение
d2^/dt2 - k2tV = 0, (5.54)
нужное нам решение которого выражается через функцию Эйри
Ф = Av(k2/3t), (5.55)
убывающую при t —> =Ьоо. Решение первого из уравнений (5.52) ищем в виде
и1 (А) = 5(А)Ф(?), (5.56)
где д(Х) — медленно меняющаяся функция Л и ?(А) — некоторая, пока неизвестная функция Л.
Подставляя (5.56) в первое из уравнений (5.54) и учитывая (5.55), получим
k2(tt'2 + р)дф + (2 g't' + gt")V + g"V = 0. (5.57)
Третьим слагаемым здесь можно пренебречь, так как оно содержит
вторую производную медленно меняющейся функции. Второе слагаемое можно обратить в нуль, положив
2g,t,+gt" = 0,
или
д = Ci/Vt. (5.58)
Тогда из (5.57) следует
tt'2+p = 0 (5.59)
и, следовательно,
Л - 2/3
(|/<*Ал/=ЙА)) , А>Ао = А(?)
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed