Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
лежит на продолжении отрезка S1O2. Точно так же доказывается, что при отражении треугольника S2O2B относительно отрезка BS2 вершина 0'2 отраженного треугольника S2O2B лежит на продолжении отрезка O1S2.
Можно видеть, что треугольники 0[В02 и OiBOf2 равны. Действительно, стороны
0[02 = O1S1 - S2O2, O1O2 = O1S2 + S2O2
равны, так как сумма радиусов-векторов в эллипсе постоянна. Сторона 0[В равна стороне 0\В, так как является ее отражением, и сторона ВО2 по той же причине равна стороне В0'2. Следовательно,
264
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
равны между собой углы
Z0[B02 = /-0ХВ0'2.
Введем обозначения
АО1ВО2 = 2а, ZSxB02 = ft, ZS2B02 = ft,
тогда
Z0[B02 = 2 a + 2ft, Z0xB0'2 = 2 a + 2ft,
и из их равенства следует ft = ft. Так как биссектриса угла 0\В02 нормальна к зеркальному эллипсу, то угол падения равен углу отражения, это означает, что касательная BS2C к внутреннему эллипсу есть луч, возникший при отражении луча AS\B в зеркальном эллипсе.
Естественно, что и при всех последующих отражениях луч будет касаться внутреннего эллипса. Таким образом, внутренний эллипс является огибающей или каустикой семейства лучей, касающихся его. Это семейство при отражении в зеркальном эллипсе переходит в себя.
Сказанное относится к случаю, когда исходный луч пересекает большую ось эллипса правее или левее обоих фокусов. Если же исходный луч пересекает большую ось эллипса между фокусами, то каустиками будут гиперболы, софокусные зеркальному эллипсу, а лучи после большого числа отражений покроют площадь между ветвями
В
Рис. 5.5. Гиперболические каустики
гиперболы (рис. 5.5). То, что луч после отражения вновь коснется гиперболы, доказывается совершенно так же, как это сделано выше для
§ 5.2. Двумерный эллиптический резонатор
265
эллиптической каустики, хотя следует иметь в виду, что это касание может происходить в области вне зеркального эллипса.
Эти построения имеют непосредственное отношение к лазерным резонаторам. В случае гиперболических каустик, как мы видели, луч, распространяясь в зеркальном эллипсе, не выходит из области, ограниченной двумя ветвями гиперболы, поэтому отдельные части зеркального эллипса, например дуги QiNiPi и Q2N2P2, можно удалить. При этом зеркала не следует обрывать у самой каустики, поскольку согласно волновой теории поле все же проникает немного за каустику. Таким образом, получается открытый лазерный резонатор, в котором между двумя зеркалами — отрезками зеркального эллипса — существует система лучей, ограниченная каустиками.
Эллиптические каустики реализуются в открытом резонаторе, образованном дугой зеркального эллипса, если ее ограничить по концам зеркалами, изогнутыми по гиперболам, софокусным зеркальному эллипсу и простирающимся от зеркального эллипса к внутреннему и немного дальше. В таком резонаторе образуется каустика в виде отрезка эллипса, софо-кусного зеркальному (рис. 5.6). Такие эллиптические каустики аналогичны круговым каустикам в цилиндрическом резонаторе, открытый резонатор, изображенный на рис. 5.6, — открытому сектору такого резонатора.
Использованные геометрические (или геометро-оптические) свойства эллипса являются следствием известных теорем геометрии; приведенный вывод является наиболее простым.
Наряду с рассмотренными выше лучевыми потоками, ограниченными гиперболическими и эллиптическими каустиками, в зеркальном эллипсе существуют гомоцентрические потоки, расходящиеся из фокусов эллипса и после отражения в нем снова сходящиеся к фокусам. Лучевые потоки такого типа каустик не имеют и для лазерных резонаторов интереса не представляют.
Существенно, что кроме рассмотренных лучевых потоков, никаких других нет, в частности, нет лучевых потоков, сосредоточенных вблизи большой оси эллипса.
Согласно сказанному, любой эллипс или гипербола, софокусные зеркальному эллипсу, могут быть каустиками, и их множество составляет континуум, в то время как множество собственных колеба-
? = 6
Рис. 5.6. Резонатор, образованный сектором эллиптического зеркала
266
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
ний счетно. Поэтому не всякая система лучей с эллиптической или гиперболической каустикой соответствует собственному колебанию. Собственным колебаниям соответствуют лишь те из них, которые удовлетворяют определенным фазовым условиям*).
Вследствие двумерности системы таких условий два. При написании этих условий будем исходить из следующих физических соображений. В каждой точке каустики ее касается луч, входящий в исследуемую систему лучей. Так как фазовая скорость волны вдоль луча равна скорости света в вакууме, то волновой фронт вдоль каустики также должен распространяться со скоростью света в вакууме. Если каустика представляет собой замкнутую линию, то длина ее должна быть кратна длине волны, чтобы волновой фронт, обежав каустику, вернулся в исходную точку с той же фазой, с которой он из нее вышел. Если же каустика опирается на отражающие зеркала, то ее длина должна быть кратна половине длине волны, так как она до замыкания проходится дважды (если, конечно, волна не приобретает дополнительной фазы при отражении от зеркала). Это и есть первое фазовое условие.
