Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая (5.5), получим
В =
1/2
2ka±2 sin v
(2т + l)ai2
хп = —\l-—;—:— -------- cosvn.
k sm v
ipn
2m + 1
ka
12 sm v
[an cos vn — cos v(n + 1)].
В ряде случаев нет даже необходимости рассматривать полностью распространение параксиального луча в резонаторе, а достаточно прибегнуть к некоторым простым геометрическим соображениям. Рассмотрим примеры, которые можно объединить названием — метод эквивалентного зеркала.
Один или несколько близко расположенных друг к другу оптических элементов можно заменить одним эквивалентным зеркалом или линзой. Сферическое зеркало имеет выделенную точку, а именно, центр кривизны зеркала, такую, что лучи, выходящие из этой
точки, после отражения в зерка-
R
В
I
Рис. 5.2. Наклонное падение лучей на сферическое зеркало
ле вновь собираются в ней, т. е. источник и изображение находятся на одинаковом расстоянии от зеркала. Аналогичным свойством обладает и линза: изображение источника, удаленного от линзы на двойное фокусное расстояние, также находится на двойном фокусном расстоянии от нее. Отыскав подобную пару точек для той или иной оптической системы можно заменить ее эквивалентными зеркалом или линзой.
Рассмотрим для примера наклонное, под углом $, падение лучей на сферическое зеркало (рис. 5.2). Повернем мысленно чертеж вокруг прямой, перпендикулярной радиусу, проведен-
ному из центра кривизны зеркала в точку падения осевого луча. Тогда осевой и отраженный лучи, не нарушая закона отражения от сферического зеркала, опишут конические поверхности с вершинами в точках А и В. Эти конические поверхности малыми второго порядка отличаются от плоскостей, перпендикулярных плоскости чертежа и проходя-
5.1. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
261
щих через падающий и отраженный лучи. Следовательно, выходя из плоскости чертежа, осевой луч образует систему лучей, выходящих из точки А, отстоящей от зеркала на расстояние R/ cos'd и собирающихся в точке В, отстоящей от зеркала на то же самое расстояние. Таким образом, в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, радиус кривизны эквивалентного зеркала или двойное фокусное расстояние эквивалентной линзы равны R/ cos
Поворачивая далее схему на рис. 5.2 в плоскости чертежа вокруг точки О, можно найти лучи, соседние с осевым, и пересекающие его в точках А' и В1. Простые рассуждения показывают, что эти точки отстоят от зеркала на расстояние Rcos'd.
Рис. 5.3. Разность эффективных радиусов кривизны системы, образованной брюстеровской пластиной и сферическим зеркалом
Аналогичным образом рассмотрим оптическую систему, состоящую из сферического зеркала и брюстеровской пластины (рис. 5.3). При падении лучей на преломляющую поверхность под углом Брюстера (р, угол преломления равен $ = тг/2 — (р н, следовательно,
1 . п
tg<p = n, cosip =-===, sm <?=-==;
уп2, + 1 V TI + 1
при малых отклонениях от угла Брюстера имеем
Дг?=^.
П1
На рис. 5.3 изображен осевой луч OiB'GR, падающий нормально на зеркало и при отражении переходящий сам в себя. Поворачивая плоскость чертежа на небольшой угол вокруг нормали АО к брюстеровской пластине, проходящей через центр кривизны сферического
262
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
зеркала, легко убедиться, что осевой луч образует систему лучей в перпендикулярной к чертежу плоскости, которые все выходят из точки Oi, лежащей на пересечении осевого луча и нормали АО, и после прохода всей системы вновь собираются в точке 0\. Аналогично для лучей, лежащих в плоскости чертежа, например, СО2, имеется точка О2, являющаяся для них эффективным центром оптической системы. Целью данного рассмотрения является определение расстояния O1O2 = х.
Из чертежа нетрудно получить, что
В В1 = dftgip — tg$) = ——----—,
п
где d — толщина брюстеровской пластины, и п — ее показатель преломления. Далее учитывая, что BBi = OOi, получаем
00! = — = d(n2-V2
1 tg (р п
и из треугольника АВ'0\ имеем
h -Ь 00\
B'Oi =
(5.10)
COS ip
Так как треугольники ВС О и В1 С О2 подобны, то
В'С' _ в'о2
ВС ~ ВО '
Для входящих сюда длин имеем следующие выражения:
BC = h[tg(<p + 'p)-tg<p\, ВО = В'02 = B'Oi + х,
COS if
В'С' = h tg {ip + ip) + d[tg(ip + ip) - tg(i? +1?)] - h tg ip - d(tg ip - tg г?).
Подставляя эти соотношения в пропорцию (5.10) и ограничиваясь членами первого порядка по (р, получим
х = (5.11)
п^уп2 + 1
Эта величина представляет собой разность главных радиусов кривизны эквивалентного зеркала, заменяющего собой брюстеровскую пластину и сферическое зеркало.
§ 5.2. Двумерный эллиптический резонатор
Далее в § 5.2-5.7 рассматриваются резонаторы без ограничения, вносимого условием параксиальности.
Рассмотрим эллипс, изображенный на рис. 5.4. Будем считать этот эллипс зеркальным, т. е. способным отражать лучи, лежащие в его
§ 5.2. Двумерный эллиптический резонатор
263
плоскости. После ряда отражений луч света, совпадающий с отрезком АВ, покроет какую-то часть площади внутри зеркального эллипса, а часть этой площади останется непокрытой. Исследуем свойства таких лучевых потоков.
Построим внутренний эллипс, софокусный с зеркальным и касающийся луча АВ. Покажем, что луч АВ после отражения от зеркального эллипса в точке В вновь коснется внутреннего эллипса. Для этого сделаем следующее построение: точки касания Si и S2 и точку отражения В соединим с фокусами эллипсов 0\ и 02. Треугольник S\0\B отразим относительно стороны Si В и получим треугольник SiO[B. Биссектриса угла O1S1O2 между радиусами-векторами является нормалью к эллипсу, поэтому если угол O1S1O2 обозначить 27, то /-O2S1B = ^ — 7 и ZO[SiB = ^ + 7, отсюда следует, что точка 0[
