Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
Так как это свойство является основой дальнейшего рассмотрения, дадим его краткий вывод [139]. Запишем уравнение (5.17) в виде
Левая часть этого уравнения представляет собой квадратичную форму
[х\
У
F( г) = (x,y,z, 1)Ф
(5.19)
где Ф — диагональная матрица 4 х 4 с элементами
-1
Ъ2 - 0 ’ с2 Г = (X,y,z).
Если положить
/ж\
У
Z
W
= (i-t)
(Л /х"
у' z' + t у" z"
то квадратичная форма (5.19) принимает следующий вид:
F( г) = Ф(ж, х) =
= (1 — ?)2Ф(ж', х') + 2?(1 — ?)Ф(ж', х") + t2 Ф(ж", ж"), (5.20)
где
Ф(ж',ж") = (ж',2/',г',1)Ф
Ф(ж',ж") = Ф(ж",ж').
Рассмотрим теперь пересечение поверхности (5.18) с прямой, проходящей через точки (ж', у', z') и (ж", у", z")\
У-у
уП _ у/
= 1.
(5.21)
270
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
Точки пересечения этой прямой с поверхностью (5.18) можно найти, если параметрические уравнения прямой (5.21)
х = (1 — t)x' + tx", у = (1 — t)y' + tyn, z = (1 — t)z' + tz" (5.22)
подставить в уравнение (5.18). Учитывая (5.20), получаем для t урав-
Это квадратное уравнение относительно переменной (1 — ?)/?, имеющее единственный кратный корень при условии
т. е. при этом условии прямая (5.21) или (5.22) является касательной к поверхности (5.18). Если зафиксировать точку х11 = (жоэЗЛь^о)? а координаты точки х' = (x,y,z) рассматривать как текущие, то уравнение (5.23) описывает линейчатую поверхность с вершиной в точке (хо,уо, zo), касающуюся поверхности (5.18), т. е. касательный конус. Это конус является поверхностью второго порядка, его уравнение согласно (5.23) имеет вид
Поскольку этот конус будет интересовать нас в окрестности его вершины, то обозначая
Для того чтобы убедиться в симметричности этого конуса, необходимо уравнение (5.25) записать в локальной касательной ортогональной системе координат, связанной с точкой жо, У о? %о- Декартовы координаты связаны с эллипсоидальными Л, /х, v посредством соотношений
нение
(1 — ?)2Ф(ж', х1) + 2?(1 — ?)Ф(ж', х") + ?2Ф(ж",ж") = 0.
Ф2(ж',ж") - Ф(ж',ж')Ф(ж",ж") = 0,
(5.23)
? = ж-ж0, Г) = у-у0, ( = z-z0,
уравнение (5.24) приводим к виду
(д?0Г] - УоО2 , (жоС - ZQ^)2 (;уоС - ZpT])2
(а2 — $)(Ь2 — $) (а2 — $)(с2 — $) (Ъ2 — $)(с2 — $)
(5.25)
х‘
2 = (д2 — Л) (а2 — /л) (а2 — у) 2 = (Ъ2 - \)(Ъ2 - »)(Ъ2 - у)
(а2 - Ь2)(а2 - с2) ’ У (а2 - Ъ2)(Ъ2 - с2) ’
„2 ___ (с2 — Л) (с2 — fi)(c2 — и)
{а2 - с2){Ъ2 - с2) '
§ 5.3. Эллипсоидальный резонатор
271
Дифференцируя эти соотношения по Л, /i, v, получим ^ —жо / dX dfi dv \
2 \а2 — Л а2 — /1 a2 — i//
ZV°( dX +
/_ 2 \b2 — X b2 — ц b2 — v)1
>. ^ —zo ( dX dfi dv \
2 \ с2 — Л с2 — /1 c2 — v)
Подставляя эти выражения в (5.25), получаем
(Л — /х)(Л — v) dX2 (ц — Х)(ц — v) dfi2
(<а2 — X)(b2 — Л) (с2 — Л) Л — •& (а2 — ц)(Ъ2 — fi) (с2 — ц) ц — •&
(у — Л) (г/ — ц) dv2 =
(а2 — v)(b2 — v) (с2 — v) v — $
— уравнение конуса в локальных координатах. Отсутствие в нем перекрестных членов типа dX d/i показывает, что касательный к поверхности (5.17) конус (5.24) симметрично расположен относительно локальной системы координат. Это как раз и доказывает, что образующие конуса, касающиеся поверхности (5.17), отразившись в зеркальном эллипсоиде, перейдут снова в его образующие и снова будут касаться поверхности (5.17).
Очевидно, что при последующих отражениях луч будет касаться все той же поверхности конфокального семейства. Следовательно, эта поверхность является огибающей семейства лучей, т. е. каустической поверхностью. К заданной прямой можно провести две касательные поверхности из данного конфокального семейства, и обе эти поверхности будут каустическими, т. е. будут ограничивать ту область пространства, в которой, главным образом, сосредоточено волновое поле.
В зависимости от расположения исходного луча возникают четыре топологических типа колебаний.
Назовем внутренней часть плоскости ху, ограниченную фокальным эллипсом и содержащую в себе его фокусы. Остальную часть этой плоскости будем называть внешней частью. Часть плоскости xz, в которой лежат фокусы фокальной гиперболы (состоящую из двух частей), по аналогии назовем внутренней частью, а остальную часть — внешней, для плоскости xz эти названия формальны.
Четыре различных типа колебаний возникают в зависимости от того, где исходный луч пересекает плоскости ху и xz.
1. Исходный луч пересекает внешние части плоскостей ху и xz. Касательными поверхностями к нему являются эллипсоид и двупо-лостный гиперболоид. Область, заполненная лучами, схематически изображена на рис. 5.8, она имеет вид тора, расположенного вблизи плоскости yz, сечением в виде криволинейного прямоугольника.
2. Исходный луч пересекает внешнюю часть плоскости ху и внутреннюю часть плоскости xz. Касательными поверхностями являются
272
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
Рис. 5.8. Колебания первого типа в эллипсоидальном резонаторе
Рис. 5.9. Колебания второго типа в эллипсоидальном резонаторе
эллипсоид и однополостный гиперболоид. Область, заполненная лучами, имеет вид квазипрямоугольного тора, расположенного вблизи плоскости ху (рис. 5.9).
