Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
3. Исходный луч пересекает внутреннюю часть плоскости ху и внешнюю часть плоскости xz. Касательные поверхности — двуполост-ный и однополостный гиперболоиды. Область, занятая лучами, имеет
§ 5.3. Эллипсоидальный резонатор
273
вид несколько искривленной прямоугольной призмы с плоскостями симметрии ж = О, у = 0 п z = 0 (рис. 5.10).
Рис. 5.10. Колебания третьего типа в эллипсоидальном резонаторе
Рис. 5.11. Колебания четвертого типа в эллипсоидальном резонаторе
4. Исходный луч пересекает внутренние части плоскостей ху и xz. Касательные поверхности — два однополостных гиперболоида. Область, занятая лучами, имеет вид полого криволинейного цилиндра, вытянутого вдоль оси z (рис. 5.11).
Только для колебаний четвертого типа каустическими поверхностями являются две одноименные поверхности. Это связано с тем, что к однополостному гиперболоиду можно провести касательные как из внешних, так и из внутренних точек, в то время как к эллипсоиду и
18 В.П. Быков, О.О. Силичев
274
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
двуполостному гиперболоиду можно провести касательные лишь из внешних точек.
Рассмотрим фазовые условия для эллипсоидального резонатора: теперь таких условий три. На каустических поверхностях, ограничивающих то или иное колебание, есть линии, которые в каждой своей точке касаются лучей, принадлежащих данному колебанию. Одной из таких линий является линия пересечения каустических поверхностей. Действительно, прямая, касающаяся линии пересечения, касается тем самым обеих каустических поверхностей и поэтому принадлежит к лучам, образующим данное колебание, так как после всех отражений эта прямая по-прежнему будет касаться избранных каустических поверхностей. К лучам касательны также геодезические линии на каустических поверхностях, которые касаются линий пересечения каустических поверхностей. Распространение волнового фронта вдоль этих линий происходит, очевидно, со скоростью света в вакууме.
Набег фазы вдоль линии пересечения каустических поверхностей по возвращении в исходную точку должен быть кратен 27г. Следовательно, первое фазовое условие состоит в том, что длина линии пересечения каустических поверхностей должна быть кратна длине волны. Аналогично, набег фазы вдоль геодезической линии, начиная с точки касания ее с линией пересечения каустических поверхностей, должен отличаться на величину, кратную 2тт, от набега фазы вдоль линии пересечения каустических поверхностей между теми же точками с учетом дополнительного набега фазы на каустике. Это — второе фазовое условие. Третье фазовое условие возникает из аналогичных соображений, только геодезическую следует взять на второй каустической поверхности.
Для аналитической формулировки фазовых условий приведем выражения для элементов длины различных линий в эллипсоидальных координатах. Квадрат элемента длины в произвольном случае имеет вид
Элемент длины касательной к двум поверхностям 'д = и 'д = $2 равен
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 =
d(2, (5.26)
где ?, 77, ? — эллипсоидальные координаты и
D($) = (а2 — it))(b2 — $)(с2 —
(5.27)
§ 5.3. Эллипсоидальный резонатор
275
Элемент длины геодезической линии на поверхности ( = const, касательной к поверхности 'д = const, равен
Элемент длины линии пересечения поверхностей 77 = const, ( = const равен
Для колебаний первого типа уравнения каустических поверхностей имеют вид ? = и ( = $2. Согласно (5.29), длина линии пересечения эллипсоида ? = $1 и двуполостного гиперболоида С = ^2 равна
и коэффициент 4 в (5.30) появляется вследствие того, что при одном обходе линии пересечения координата 77 четыре раза пробегает интервал от с2 до Ъ2. Таким образом, первое фазовое условие принимает
где к = ио/с = 2тт/\ — волновое число, и — частота волны, с — скорость света.
Рассмотрим теперь геодезическую линию на эллипсоидальной каустической поверхности ? = $1. Пусть она касается линии пересечения каустических поверхностей в точке т/. Отойдя от линии пересечения, она в какой-то точке коснется второй линии пересечения, затем вновь вернется к первой и коснется ее в точке г]". Согласно (5.28), длина этой геодезической равна
Согласно (5.29), первое слагаемое — это длина линии пересечения между точками гf и 77", при вычислении разности длин оно сократится. Коэффициент 4 во втором слагаемом появляется вследствие того, что интегрирование в указанных пределах соответствует лишь четверти полной длины геодезической. Таким образом, второе фазо-
(5.28)
(5.29)
(5.30)
где
вид
а'
2
jdn\^/Wn)+ 4 J dc\y/m
18*
276
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
вое условие имеет следующий вид:
а2
k j dcVm = (N( + \y.
$2
Дополнительное слагаемое в правой части i тг появляется из-за двух касаний геодезической с каустикой на рассматриваемом отрезке.
Теперь рассмотрим геодезическую на двуполостном гиперболоиде. После касания с линией пересечения в точке ($i, ?/, $2) эта геодезическая подойдет к зеркальному эллипсоиду, отразится от него и затем вновь коснется линии пересечения в точке ($1, rj”, $2). Учитывая
(5.28) и (5.29), получаем третье фазовое условие в виде
