Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
от друга на расстояние d. Будем считать, что центры кривизны зеркал лежат на оси z, т. е. эта ось является осью симметрии резонатора, пусть оси х и у касательны к первому зеркалу в точке О (рис. 5.1).
Будем рассматривать последовательные отражения от зеркал лучей, распространяющихся внутри резонатора. Собственным колебаниям резонатора соответствуют системы лучей, которые после обхода резонатора замыкаются на себя, при этом каждый отдельный луч не замыкается сам на себя, он переходит в другие лучи, но из той же системы.
Пусть луч АВ лежит в плоскости xz, будем характеризовать этот луч двумя параметрами: расстоянием ж о его начальной точки А до оси z и наклоном ipo к той же оси z (рис. 5.1). Его конечная координата х' определится из уравнения
х' = х0 + d'tgcpo, (5.1)
где df — расстояние между проекциями точек А и В на ось z, это расстояние приближенно можно представить в виде
2 /2
d' = d--?—--?—,
2Ri 2R2
17 В.П. Быков, О.О. Силичев
258
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
т. е. оно отличается от d малыми второго порядка по ж и ж'. Пренебрегая в (5.1) всеми членами выше первой степени по ж, х' и сро, получим параметры
х' = х0+ d(fo, Ч>' = <ро, (5.2)
характеризующие рассматриваемый луч в месте его пересечения со вторым зеркалом. Нетрудно видеть, что матрица этого преобразования есть не что иное, как оператор трансляции (1.20).
Рассмотрим теперь отражение луча АВ во втором зеркале. Уравнение второго зеркала вблизи оси (при малых х) можно написать в виде
л *2 z = а — ——,
2Я3
наклон нормали к зеркалу в точке х по отношению к оси z равен
dz/dx = —xjR^.
Из простых геометрических соображений находим угол, который отраженный от второго зеркала луч составляет с осью резонатора. Таким образом, на втором зеркале параметры луча испытывают преобразование
х" = ж', ip" = -2ж '/Д2 + if', (5.3)
описываемое матрицей, которая есть просто оператор отражения (1.45).
Далее проход от второго зеркала к первому описывается преобразованием, аналогичным (5.2), и отражение от первого зеркала — преобразованием, аналогичным (5.3), в котором R2 заменено на R\. Вычисляя произведение всех этих матриц, получаем
/ _ 2d 2d-— \ м= R2 R2 = (ап а12
2 2 4d ^ 4 d 2d 4 d2 У&21 ^22
\ Ri R2 R1R2 Ri R2 R1R2 J
(5.4)
— матрицу, описывающую прохождение лучей по всему резонатору, которую мы уже получали ранее (см. (1.71)). Естественно, что дальнейшие вычисления можно проводить в соответствии с правилом ABCD, как это описано в § 1.5. Однако геометрическая оптика доставляет некоторые свои возможности дальнейшего расчета.
Собственный вектор матрицы (5.4) имеет, очевидно, компоненты
ж0 = -Ва,12, (ро = в (ап - elv), (5.5)
где В — некоторый общий коэффициент и elv — собственное значение матрицы М (cos г/ = (ац + <^22)/2). Нетрудно видеть, что лучи с параметрами
хп = жое*™ + х*0е-*п, = <Л)^П + ^e"il/n (5.6)
5.1. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
259
образуют некоторую совокупность, которая после прохода по резонатору, описываемому матрицей (5.4), переходит сама в себя, т. е. лучи с параметрами (5.6) образуют собственную систему лучей рассматриваемого резонатора.
Такие системы должны удовлетворять важному фазовому условию, которое в дальнейшем нам еще понадобится, и мы его рассмотрим в достаточно общей форме. Рассмотрим систему лучей, определяемых параметрами
хп = F(n), tg (рп = Ф(п), (5.7)
где Ф(п) 1, F(n) — периодические функции непрерывного пара-
метра п, хп — абсцисса точки пересечения n-го луча с осью х и ipn — угол, который луч составляет с осью 2. Уравнение n-го луча имеет вид
* = 1^М. (5.8)
Ф(го)
По обычным правилам дифференциальной геометрии можно построить огибающую, т. е. каустику рассматриваемого семейства лучей. Для этого уравнение (5.8) следует продифференцировать по параметру п:
гФ '(п) = -F'(n) (5.9)
и полученное уравнение (5.9) разрешить совместно с (5.8) относительно х и г. В результате получаются уравнения каустики
т-i/ \ ,, ч F'(n) F'(n)
Х = Р(п)-Ф(п)ш, Z = —фТ^у
в параметрическом виде. Как легко видеть, каустика пересекает ось х при F'(ri) = 0 , т. е. в максимумах и минимумах функции F(n).
Рассмотрим набег фазы вдоль оси абсцисс в системе лучей (5.7), когда п проходит полный период и хп пробегает все значения на оси абсцисс от каустики до каустики и обратно. Смещение на dxn вдоль оси х соответствует смещению волнового фронта, ортогонального к лучам, на величину dxn sin ipn и изменению фазы на k dxn sin ipn. Если это выражение проинтегрировать по всем указанным значениям жп, то для однозначности фазы полученный набег должен быть кратен 2тг. Точнее сказать, он должен быть равен (2т + 1)тг (т — целое), поскольку каждое касание луча с каустикой влечет дополнительный набег фазы 7г/2 (см. [138]). Таким образом, система лучей (5.7) должна удовлетворять условию самосогласованности
к J dxn sin(^n = (2m + 1)7г.
В параксиальном случае (5.6) это условие дает
^ f dip (х0егф - х$е г'ф)(1р0ег'ф + <^е гф) = ik(xQ(Po - х*^) = тп +
17*
260
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
