Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
$2
-2f“nVm='1{N, + i).
Решение третьего из уравнений (5.52) для второго типа колебаний аналогично 1x2 для первого типа, поэтому приводим его без выкладок:
b2
при этом имеет место третье фазовое условие
а
\к J dt^m = ^NC.
б2
У колебаний третьего типа каустическими поверхностями являются однополостный гиперболоид 77 = $1 и двуполостный гиперболоид ? = $2. Параметр р(?) знака не меняет, поэтому решение первого из уравнений (5.52) можно написать в виде
?
причем синусоидальное решение относится к первому граничному условию (5.48), а косинусоидальное — ко второму граничному условию (5.48). Фазовое условие имеет вид
с
\к j тт.
о
Решение второго из уравнений (5.52) имеет вид
U2(v) = С\J(t2 - t%)/p(r}) e~kt2/4HN^ (дj1t),
§5.5. Эллипсоидальный резонатор — волновое решение
291
где функция t(rj) определяется соотношением
ъ2
\ [*фо - 12 + 4 arcsin(f/f0)j = J dr, \/P(rj),
Г)
4 = 2(2 Nn + 1 )/к.
Так как при г] = $i, t = to, то из (5.73) следует фазовое условие ъ2
i kjdr, \JP{rj) = ^7T(nv + ^)-
#1
Аналогично для щ(() имеем выражение
МО = С\Jt2)/pe~kt^/4HN( i) j
где t(Q определяется соотношением
| t^t20-t2 + t20<iicsm(t/t0) = J d( л/Р(0,
С
при фазовом условии
2 _ 2(2Щ + 1) *° ~ к ’
U
2
У колебаний четвертого типа каустическими поверхностями являются два однополостных гиперболоида. Поэтому уравнения для щ (?) и (С) не имеют точек поворота. Решение для щ(?) имеет вид
С
причем синус соответствует первому граничному условию (5.48), а косинус — второму граничному условию (5.48). Из симметрии задачи вытекает первое фазовое условие
с2
i kj d?y/P(€) = ±Nl:iг.
О
Для us(Q получаем выражение
ъ2
19*
292
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
при фазовом условии
а'
2
1
2
k I dc^/p{0
(5.74)
Интересно, что в отсутствие симметрии вращения (а2 ф Ъ2) фазовое число Nq не может принимать малых значений. Действительно, левая часть (5.74) минимальна при $1 = = Ь2. Тогда из (5.74) по-
лучаем
где E(s) и K(s) — полные эллиптические интегралы второго и первого рода. Таким образом, имеется некоторое минимальное значение N^.
Решение и2(г]) для четвертого типа колебаний несколько отличается от предыдущих, поскольку интервал изменения г] содержит две точки поворота. Учитывая симметрию задачи, для и2 примем следующее эталонное уравнение:
номы Лагерра. Применяя, как обычно, метод эталонных уравнений, получим для и2 решение
и2(г]) = С-У(г4 -4Ат2 + АВ2)/Ap{Vkr)N<{кт2/2)е~кт2/4,
О < ~^= [(а2 - c2)E(s) - (Ъ2 - c2)K(s)} < I iV у а2, — с1 *
где
Его решение имеет вид
Ф(*) = (у/кт) \т\Ь^(кт2/2)е-кт^4,
при
к2 А = 7VC + 2 Nv + 1, кВ = Nv,
где п = Nv и \m\ = — целые числа, ь\',п — обобщенные поли-
где г(77) определяется условием
J dt л/—т4 + 4Ат2 — 4В2 = J dr] у/P(rj). (5.75)
Из (5.75) вытекает фазовое условие
5.6. Лучевые системы в резонаторах более общего типа
293
Таким образом, найдены волновые функции, описывающие колебания эллипсоидального резонатора всех четырех типов, а также фазовые условия, определяющие резонансные частоты и положение каустик собственных колебаний.
§ 5.6. Лучевые системы в резонаторах более общего типа, чем эллипсоидальный
Как можно было видеть в предыдущих параграфах, задача о движении лучей в зеркальном эллипсоиде принадлежит к классу так называемых интегрируемых задач, т. е. задач, в которых существуют первые интегралы движения. С этой интегрируемостью связана и возможность разделения переменных в соответствующей волновой задаче. Хотя эллипсоидальный резонатор важен — к нему сводится большое число различных, в том числе лазерных резонаторов, однако далеко не все даже в параксиальном приближении. Поэтому представляет интерес рассмотреть резонаторы более общего типа, нежели эллипсоидальный.
При этом мы сталкиваемся с той трудностью, что теория возмущений оказывается мало применимой к качественному исследованию таких, более общих резонаторов, поскольку в рядах теории возмущений возникают так называемые «малые знаменатели», делающие эти ряды расходящимися. Естественно поэтому обратиться к численному решению соответствующих уравнений.
Одним из самых простых обобщений плоского эллиптического резонатора является резонатор, образованный круглым и плоским зеркалами [147] (рис. 5.14).
Действительно, такую систему зеркал можно представлять как единую кривую, описываемую уравнением (распадающимся) третьего порядка, т. е. это минимальное усложнение по сравнению с эллипсоидом. Каждый луч, распространяющийся в таком резонаторе, можно характеризовать двумя параметрами: углом q, который луч составляет с осью системы, и расстоянием р от луча до центра кривизны круглого зеркала. Задав некоторый исходный луч и приписав ему индекс п, можно вычислить параметры (п + 1)-го луча, т. е. луча, получающегося из n-го после его отражения от круглого и плоского зеркал. В результате такого
Рис. 5.14. Внеосевые самовоспроиз-водящиеся лучевые потоки в лазерном резонаторе, образованном плоским и сферическим зеркалами
294
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
вычисления получаем Рп+1 = -Рп + tsinqn, qn+l = 2arcsin(-pn + tsmqn) - qn, (5.76)
