Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Быков В.П. -> "Лазерные резонаторы " -> 104

Лазерные резонаторы - Быков В.П.

Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 320 c.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка): lazernierezonatori2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 113 >> Следующая

где pn = —pn-i/R, t = 2(1 — d/R), R — радиус кривизны круглого зеркала и d — расстояние между зеркалами.
Условно-периодические по п решения этой системы описывают собственные системы лучей исследуемого резонатора. Систему (5.76) можно линеаризовать вблизи значений р = q = 0. В результате она примет вид
Рп+1 = Рп Н- tQm Qn+i = 2рп (1 2t)qn. (5.77)
Условно-периодическое решение этой системы очевидно:
рп = АуД cos vn, qn = А(^Д cos vn — у/2 — t sin vn), cos v = t — 1.
(5.78)
Однако не все решения системы (5.76) имеют вид, близкий к решениям (5.78) линеаризованной системы. Мы уже отмечали выше связь этой проблемы с проблемой «малых знаменателей» в механике. Ясно поэтому, что исследование этой проблемы лежит в круге идей КАМ-теоремы (теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера). Согласно этим идеям [148], при поворотах общего эллиптического типа, к которым принадлежит и преобразование (5.76), между решениями типа
(5.78) лежат резонансные зоны, где решение носит существенно иной характер. Эти новые движения также условно периодичны, но уже с другими центрами и с другими частотами. Более того, где-то между ними также лежат резонансные зоны нового поколения и т. д. до бесконечности. Кроме того, области различных движений отделены друг от друга сепаратрическими областями хаотического движения.
На рис. 5.15 представлены результаты итерационных расчетов на ЭВМ по рекуррентным формулам (5.76) при t = 0,52 и при различных начальных условиях. Выбор этого значения t обусловлен следующими причинами. Согласно [148] величина резонансной зоны тем больше, чем меньше период движения по п того периодического решения, около которого расположена резонансная зона. Поэтому резонансную зону естественно искать вблизи решения с периодом по п, равным 3. При t — 0,5 решение с периодом по п, равным 3, имеет место уже в линейном приближении. Следовательно, можно полагать, что при t = 0,52 резонансная зона лежит не слишком далеко от начала координат и вместе с тем достаточно велика. Результаты, представленные на рис. 5.15, показывают, что это действительно так. Овалы, центры которых в начале координат, соответствуют решениям, близким к решениям линеаризованной системы (5.77). Малые овалы неправильной формы соответствуют как раз резонансным зонам. Движение изображающих точек по малым овалам происходит с частотами, сильно отличающимися от частот движения по овалам с центром в начале координат.
5.6. Лучевые системы в резонаторах более общего типа
295
Р
0,8
0,6
0,8
Рис. 5.15. Фазовая диаграмма лучевых потоков в резонаторе, образованном плоским и сферическим зеркалами
При отражении лучей в плоском и круглом зеркалах зона 0 переходит в зону i, зона 1 — в зону 2 и зона 2 — в зону 0. Поэтому эти три зоны представляют, по существу, одну и ту же систему лучей. Лучи, соответствующие зонам 0, i, 2 после отражения в плоском или круглом зеркалах, перейдут в лучи, соответствующие зонам О1, i', 2'. Таким образом, число резонансных зон равно числу лучевых потоков на рис. 5.14, которые и образуют тип колебаний, изображенный на этом рисунке. Центры зон соответствуют осевому лучу этого типа колебаний. Они представляют собой периодическое решение системы (5.76) с периодом по п, равным 3 при начальных условиях
Имеются также неустойчивые периодические решения, лежащие между зонами. Они, например, имеют место при начальных условиях
Таким образом, фазовая картина движения систем лучей в исследуемом резонаторе представляет собой систему резонансных зон, вложенных друг в друга, разделенных небольшими (в данном резонаторе) зонами хаотического движения и сильно различающихся по своим размерам. Не все эти зоны будут реально проявляться в том или ином конкретном частотном диапазоне. Лишь достаточно большие, удовлетворяющие фазовому условию зоны могут соответствовать реальным модам резонатора. Остальные зоны можно назвать скрытыми, «ла-
(5.79)
296
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
тентными» модами, они также могут проявиться, но в более коротковолновом диапазоне.
Фазовое условие заключается в том, что набег фазы при проходе от каустики до каустики и обратно должен быть равен (2N + 1)7г, где N — целое число. Его можно записать в виде
где к = ио/с — волновое число и хп — координата точки пересечения луча и плоского зеркала; индекс п пробегает значения, соответствующие одной из резонансных зон. Так как
то, учитывая условную периодичность по п движения лучей, условие (5.80) можно преобразовать к следующему простому виду:
Таким образом, основное значение для фазового условия имеет площадь резонансной зоны на рис. 5.15. В рассмотренном случае эта площадь составляет примерно 10-2. Следовательно, в оптическом диапазоне (kR ~ 106, Л ~ 10-4 см) число N может достигать значения 104.
При стремлении ?к1/2(А = ? — 1/2—>-0) резонансная зона прижимается к началу координат. При этом ее площадь уменьшается примерно квадратично с расстоянием до начала координат, т. е. линейно с А. Это видно из соотношения (5.79), которое при малых А переходит в ро — sin Ago — л/20А7з и, следовательно, poqo пропорционально А. Таким образом, первое колебание того типа, который изображен на рис. 5.14, появится примерно при q ~ 3 • 10_3 (~ 10') и А ~ 10_6, и его наблюдение возможно в обычных газовых лазерах при не слишком узкой трубке, содержащей активную среду (без брюстеровских окон).
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed