Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
В трехмерном случае, т. е. при сферическом верхнем зеркале и плоском нижнем, также имеются аналогичные колебания. Представление о них нетрудно получить, если рис. 5.14 мысленно вращать вокруг вертикальной оси. Эти колебания ближе подходят к краям зеркал, нежели колебания обычного типа. Следовательно, при экспериментальном наблюдении этих колебаний необходимо тем или иным способом подавить колебания обычного типа.
§ 5.7. Построение волнового поля по лучевой картине
(5.80)
Рп - (1/2) t sin qn
Как показано в предыдущих параграфах, для многих резонаторов могут быть построены системы лучей, переходящие в себя при отражениях в зеркалах (собственные системы лучей). В одних случаях
§ 5.1. Построение волнового поля по лучевой картине
297
(как в эллипсоиде) они могут быть построены аналитически, в других — посредством численных расчетов (см. § 5.6). Естественно поэтому в качестве следующего шага определения мод резонатора строить волновое поле этих мод на основе уже известной лучевой картины.
Рассмотрим систему лучей, обладающую каустикой с двумя ветвями (рис. 5.16) и общими асимптотами. Хотя это и не принципиально, будем считать, что каустики симметрично расположены относительно декартовых координат. Построим криволинейную ортогональную биссекториальную систему координат. Координатные линии этой системы делят пополам углы между лучами, при этом линии N ортогональны к каустикам и линии К ортогональны к линиям N. Координату t будем отсчитывать вдоль линии Nq от точки пересечения ее
Рис. 5.16. Система лучей с двумя каустиками и биссекториальная система
координат
с каустикой, а координату s — от той же точки вдоль каустики Ко (рис. 5.16). Систему лучей разобьем на две подсистемы — для первой проекция направляющего вектора q на линии N положительна, для второй (направляющий вектор q) — отрицательна.
298
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
Коэффициенты Ламе данной системы координат определяются из условия rot q = rot q = 0. Так как векторы q и q равны соответственно
q= tit{t,s),qs{t,s)}, q= {-qt{t,s),qs{t,s)},
то для коэффициентов Ламе получаем выражения
hs = q~1, ht = xqi1,
где к = x(t) = qt(0,t) — величина проекции qt на линии Nq. Волновое уравнение в рассматриваемой системе координат можно привести к виду
S (А_11г) + !; (Afr) + + А)СЛ = О, ,5,4
где
t
l* = f*dt, A (s,n) = qtqj1.
0
Решение этого уравнения будем искать в виде
и = (AW+ k~1/2BW')eiks, (5.82)
где функция
W = W(ti) (0 = М) является функцией параболического цилиндра, т. е. удовлетворяет уравнению
W" + Q($)W = 0 (5.83)
при
Q(0) = N+
Из (5.83) следует соотношение
W'" = ±Ш- QW',
которое понадобится в дальнейшем.
Коэффициенты А и В будем считать медленно меняющимися функциями s и li. Для определения A(s,/i), B(s,/i), а также $(/i) подставим решение (5.82) в уравнение (5.81). Нетрудно убедиться, что старшие члены, пропорциональные к2, сократятся, если положить
V'2 = |. (5.84)
Отсюда следует
•д I-------------
/ yN + \ ~ I м = к,л- ^5-85^
О
При интегрировании от каустики до каустики получим
дт , 1 kjio (г оп\
§ 5.1. Построение волнового поля по лучевой картине
299
Это соотношение является поперечным фазовым условием. Оно показывает, что заданной системе лучей может соответствовать волновое поле только при дискретном наборе частот. Из соотношений (5.85) и (5.86) следует, что $ ~ к1!2 и Q ~ к, поэтому удобно ввести величины
т = &_1//2$, Р = k~xQ. (5.86)
Теперь выпишем полностью волновое уравнение и сгруппируем отдельно члены, содержащие W и W':
w{fc2(-A_1A - ЛА + А"1 А + ДА) + jfc[2*A_1Ae + *(А_1)вА + + 1 ЛтР-гВ - 2АР1/2РД - (АР“1/2)ДРР] + + [A lAss + (Л l)sAs + ЛЛдд + j + + fc-1/2W'{fc2(-A"1B - А В + \~1В + А В) + jfc[2*A_1Be + + i(\~1)sB + 2\Р~1/2 Ац + (А Р~1/2)^А] + [\~г В ss + (X~1)SBS +
+ ХВцц + X/jB/j]} = 0.
Как легко видеть, члены, пропорциональные к2 и къ!2 , сокращаются. Это происходит вследствие специального выбора 0(/i), определяемого соотношением (5.84). Члены, не содержащие к или пропорциональные &-1/2, малы, и мы ими пренебрегаем. Член, пропорциональный kW, после ряда преобразований приводит к уравнению
гА“1/2 ^ (\-1/2Р~1/4А) - А1/2 -Ц- (\1/2Р1/4В) = 0. (5.87)
Член, пропорциональный kxl2W', после аналогичных преобразований приводит к уравнению
iX-У2 ? (А-1/2Р1/4Б) + A1/2 A (A1/2P-1/4A) = 0. (5.88)
Складывая и вычитая (5.87) и (5.88), получим
A“1/2 A (A-^F) - А1/2 -щ- (А 1/2Р) = 0, (5.89)
Л-1/2 ^ (a-i/2G) + Л1/2 д_ (ai/2G) = (5 90)
где
F = гР“1/4А + Р1/4В, G = гР"1/4А - Р1/4В.
Уравнения (5.89) и (5.90) являются уравнениями в частных производных первого порядка.
Выполняя дифференцирование, приводим (5.89) к виду
OF Л_1 OF 1 (д\ , л-2
300
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
Уравнения характеристик имеют вид
?=-a_i' f=-i(i+A_2i)F- <б-92>
Первые два уравнения (5.92) являются параметрическими уравнениями одного из лучей. Действительно, в малой окрестности некоторой точки имеем
ds\ = qt dp, ds2 = qs dp, (5.93)
где dp — элемент длины луча. С другой стороны,
ds\ = — q^1 dp, ds2 = q~X ds. (5.94)
