Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
t =
Ло ч 2/3
* = -(|/dAv?(A)) , А < А0 = А(?)
А
Учитывая (5.50), эти соотношения можно записать в виде
€ ^^ 2/3
t = ' ''
\ z
#1
^ \ 2/3
*-U
С
где использовано обозначение
Рш = Ш.
1’ D($)
(lfdtiy/т^ , € > tfi;
#1
/о ^ \2/3
¦(iJdtVPtf)) . e<^i.
§5.5. Эллипсоидальный резонатор — волновое решение
287
Из (5.58) и (5.59) следует
9 = Ci t -
t
Р
и, следовательно, решение (5.56) принимает следующий вид:
? \ 2/3 ¦
М0 = с\
t
-- V р
t
-- V р
о
2/3
ъ
(5.60)
(5.61)
Исследование показывает, что пренебрежение третьим слагаемым в (5.57) приводит к утере в решении членов порядка &-4//3. В решении (5.60) использована лишь функция г?, убывающая с ростом ?, так как из физических соображений ясно, что поле за каустикой убывает. Разумеется это правильно, если каустический эллипсоид ? = не слишком близок к плоскости z = 0.
Если при ? = 0 имеет место граничное условие щ = 0, то из (5.61) следует фазовое условие
(5.62)
где tд/^ Щ-й корень функции Эйри. Если же при ? = 0 обращается в нуль производная dui/ctt;, то фазовое условие также имеет вид (5.62), но — теперь А^-й корень производной функции Эйри. При больших N,? эти фазовые условия переходят в
(5.63)
о
Обратимся теперь ко второму из уравнений (5.52). В нем коэффициент p(rj) не обращается в нуль, оставаясь все время отрицательным. Поэтому в качестве эталонного уравнения примем
$+*!*=°
и решение второго из уравнений (5.52) будем искать в виде
«гЫ = g(n)exp(ikt).
288
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
Подставляя это решение в уравнение и делая обычные для метода эталонных уравнений приближения, получаем
11
Как уже отмечалось, из симметрии эллипсоидального резонатора следует, что решение (5.64) должно быть симметричным или антисимметричным относительно плоскости z = 0, т. е. оно должно иметь вид
Оно также должно быть симметричным или антисимметричным относительно плоскости у = 0, и это требование приводит к фазовому условию
Наконец, рассмотрим третье из уравнений (5.52). При изменении ? от Ъ2 до а2 функция р(() меняет знак в точке С = $2- При ( < $2 функция р(() < 0 и решение экспоненциального типа, при ( > $2 функция р(() > 0 и решение осциллирующее. В качестве эталонного примем уравнение
^L + ±k2(t2-t2)V = 0, (5.67)
решение которого при условии
Хотя третье из уравнений (5.52), подобно первому, имеет одну точку поворота на интервале изменения независимой переменной, в качестве эталонного взято уравнение (5.67) с двумя точками поворота. Это сделано с учетом геометро-оптического решения, поскольку для колебаний первого типа условие ( = $2 определяет две каустические поверхности (две ветви двуполостного гиперболоида). Тем самым учтена симметрия эллипсоида относительно плоскости х = 0.
До
где fio — пока произвольно. Для U2 получаем выражение
= ехр (у / drt + 4^= ехР (“У J drl Vp(v)j ¦
По По
По
(5.64)
(5.65)
(5.66)
(5.68)
выражается через функции параболического цилиндра
ip(t) = Се k*2/*HN((y/k/2t).
§5.5. Эллипсоидальный резонатор — волновое решение
289
Принимая решение щ в виде
из(р) = 5(г/)ф(^); (5-69)
где Ф(?) — решение уравнения (5.67) и подставляя (5.69) в третье уравнение (5.52), получим равенства
to ______ V
i J dt^jt\-t2 = J dv^Jp(v), (>tf2;
t Vo
t ______ Vo
i J dt^t2 -t2 = J dv \/-p{v), (<$2,
to V
определяющие зависимость t от v. Поскольку изменению ( от $2 до а2 соответствует изменение t от to до 0, то эта зависимость принимает вид
С
i arcsin(t/t0) + t^JЩ-t2^ = i Jd( \/Р(?). (5.70)
$2
Подставляя сюда пределы и учитывая (5.68), получаем третье фазовое условие
|/dC^(0 = |(iV( + i). (5.71)
Решение же третьего из уравнений (5.52) имеет вид
«з(0 = C^[2(2Nc + 1) - kt2]/kp(0e~kt2/4HN( (^| i), (5.72)
где t как функция ( определяется соотношением (5.70).
Таким образом, решение волнового уравнения (5.47) при граничных условиях (5.48) представляет собой произведение функций (5.60),
(5.65) и (5.72), в которых к, и $2 определяются фазовыми условиями (5.63), (5.66) и (5.71).
У колебаний второго типа каустическими поверхностями являются эллипсоид ($i) и однополостный гиперболоид ($2)- Как и для колебаний первого типа, р(?) меняет знак в точке ? = $]_. Поэтому эталонным уравнением для первого из уравнений (5.52) будет уравнение Эйри (5.54). Соответственно и решение первого из уравнений (5.52) одинаково с решением для первого типа колебаний и описывается формулой (5.60) при том же фазовом условии (5.63).
Во втором уравнении (5.52) p(rj) изменяет знак в точке 77 = $2. Из тех же соображений симметрии, что и раньше, в качестве эталонного принимаем уравнение (5.67) с двумя точками поворота. Соответственно, решение второго из уравнений (5.52) одинаково с решением
19 В.П. Быков, О.О. Силичев
290
Гл. 5. Геометрическая оптика лазерных резонаторов
для первого типа колебаний
Mv) = С\J[kt2 - 2(2Nv + 1 )\/kp(r]) е kt2/AHNn i),
где функция t{rf) определяется соотношением
г]
tyjtl -t2+t2 arcsin(t/t0) = J df] P(r/) (tg = 2(2NV + l)/k).
Так как при г] = $2 должно быть t = to, то отсюда следует второе фазовое условие
