Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь функцией Якоби sn с модулем k, из (136) получаем
cos0 = snJ-^-юC*i, хй)\ fcj. (137)
§ 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 317
Когда q>(*i, х2) = arg z, z=‘x1 + ix2, для х2) будем
иметь w = log|z| и из (136) получаем, что
0 = 2 arctg | z |* (138)
при с4 = 0 и
cos 0 = sn [log | z |ш; k] (139)
при c4 Ф 0.
Приняв за q>(*i, *2) функцию
ф(*1, *2) = arg\\(z-zq)i, (140)
Я
где гя = + ix2q, д = ±1, 2, .... — произвольные фикси-
рованные точки плоскости комплексного переменного г, вместо (138) и (139) будем иметь соответственно
0 = 2 acrtg j^pj | z — z9 (141)
при c4 = 0 и
cos 0 = sn
p°g П12—г? \4>k'' (142)
ПрИ Сцф 0.
6°. Одномерный случай гамильтониана (119). Когда в гамильтониане (119) число ш=1 и лагранжева плотность
L(u) = g(u)(Vuf, « = «!, вместо (120) будем иметь квазилинейное уравнение
4“+w*<v“>1-0 <143>
Как легко видеть, решение соответствующего (122) обыкновенного дифференциального уравнения
ff I 1 / '* л
® + 2g (со) dti) “ — выписывается в квадратурах:
\Vg(ijdt = v, (144)
о
где v(xlt ..., х„) — произвольная гармоническая функция.
В частности, когда g(u) = (eu — I)2, уравнение (143) принимает вид
Дио
318
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
и его решение в силу (144) дается формулой
и = — log 1)..
7°. Варианты уравнений гравитационного поля. Система уравнений Максвелла — Эйнштейна осесимметрического стационарного гравитационного поля сводится к системе нелинейных уравнений вида (120):
(Re Е + ФФ) АЕ - (У? + 2Ф УФ) У? = 0,
(Re Е -f ФФ) АФ — (VE + 2Ф УФ) Уф = 0
относительно двух неизвестных комплексных функций Е и Ф.
Как и в пункте 4° настоящего параграфа, будем искать функции ?иФв виде
? = ?(о), Ф = Ф(и), (146)
где « — произвольная гармоническая функция. Тогда вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений (122) будем иметь
(Е + Е + 2ФФ) Е' - 2 (?' + 2ФФ') Е' = 0, (?+?+2фф)Ф'-2(?'+2фф')Ф'=-о. (147)
Когда Ф = const, система (147) сводится к одному уравнению для определения функции Е (и):
(? + ? + 21 с| *) ?* — 2Е'4 — 0. • (148)
Непосредственной проверкой легко убедимся в том, что семейство функций
*-ь5тчг-1‘Г.
где а, р, е — произвольные действительные постоянные, является решением уравнения (148).
Пусть теперь Е = const = c+fv- При с = 0 решением системы (147), очевидно, является
E=iv’ ф“-ЗйГнР
где Я, и ц — произвольные комплексные постоянные. Если же с = б2 или с —— б2, то системе (147) удовлетворяют соответственно выражения
?-6» + Л>, ф-бе'«^±“
S 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
319
l-fc°
где а, б, v, со — произвольные действительные, ар — произвольная комплексная постоянные.
Когда Е и Ф обе отличны от постоянных, из (147) заключаем, что эти функции связаны между собой линейно:
Ф = е? + ц,
где е и ц — произвольные комплексные постоянные. В частности, при ер = —1/2 из (147) для определения функции Е получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
(4 е2ё*?? + 1) Е" - 8 (её)2 ЕЕ'1 - 0. (149)
Поскольку выражение
a‘v+a
2ее aeiv — 1
при произвольных действительных постоянных а, © и произвольной гармонической функции v удовлетворяет уравнению (149), пара функций
E=*E(v), Ф = е? (и) —~
дает класс точных решений системы (145). Решением этой системы является пара функций, определенных по формулам
Е~ о-„ Ф= “
rev — I а ;* ’ ре® — | а ;* *
где а —произвольная комплексная, а р — произвольная действительная постоянные.
В предположении, что ?=*—1+iv, из (147) для определения функции Ф получаем уравнение
(®® -1) {?[<* - к ?]+?[(1 -»•>4г1 -
- 2Ф [(*• -1) (-^-)* Н- (1 -1^) - 0. (160)
где х, у —вытянутые сфероидальные координаты. Следуя приему, изложенному в пункте 4° настоящего параграфа, приходим к заключению, что функции Ф(и) и v {x, у)
320
ГЛ. VII. нелинейные уравнения
должны удовлетворять уравнениям
(ФФ-1)Ф'-2ФФ,9 = 0 (151)
?[<*¦-1>?]+i[(1-«,>?H <152>
соответственно.
Уравнение (152) эллиптично при (х2 — 1)(1 — у2)>0, гиперболично при (х2 — 1)(1 — у2)<.0, а на линиях х = ==±1, у=*± 1 оно параболически вырождается.
В областях эллиптичности в результате замены независимых переменных
Z~yr(xi-1)(1 - у2) + ixy, г=*У{х2-1)(1 -у2)-1ху
уравнения (150) и (152) запишутся соответственно в виде
ЗаФ , 1 /дФ ^ дФ\ 2Ф дФ дФ 0
дг ft* 2 (г + г) \ дг dz ) ФФ — 1 дг dz
и
d*v
дг dz ' 2 (г + г) \ дг т дг
ибо
9 Yttx+iy)w+{VlSx-iy)w>
h^y+ix)~w~(V т^y+ix)4r'
W-l)(l-ya)/ d .d\ **_y2 \x dx y dy j f V(x*-\) (1 — у») / d _ d x2 — y2 \ ~Sx У dy
dz dz ’
I 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 321
Нетрудно показать, что решением уравнения (150) является функция
Ф = ^ТГ’ (155)
где w — решение линейного уравнения первого порядка
dw си —|— й)
dz 2(г + г)
= 0. (156)
Действительно, при предположении, что ww ф 1, в результате замены искомой функции (155) уравнение (153) переходит в уравнение
Заш 1 (дш дш\ 2 |~ дш ш+® ~| дш _п
дгдг 2 (z + z)\dz дг / о> + ® Уд2 2 (z+z)J дг ~
(157)
Если w — решение уравнения (156), то, дифференцируя последнее по г, получаем
d*w 1 I dw dw\ п /1СОЧ
ШТ ~ Т(г + 2) \”3г dF) ** (,58)
На основании (156) и (158) заключаем, что w (z) удов-
