Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
где ft и /2 — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Поскольку начальные условия (117) в силу формулы (114) порождают начальные условия для v (хи х2):
v (хъ 0) = ехр [— т (*i)], ~ xt =о = - v to) ехр [— т (xj],
из формулы (118) находим V (xlt xt) = - -j-e-1 <*•-*»>] -
1 Х'У‘
—2 ] v(f)exp[— x(t)]dt.
Xl—x,
Отсюда на основании формулы (114) убеждаемся в том, что задача Коши (117) для уравнения (115) при 6 = 0 не всегда имеет действительное решение.
4е. Построение точных решений еще одного класса квазилинейных уравнений. В приложениях часто приходится иметь дело с гамильтонианом
Н(иъ ..., um) = \L{u)dx (119)
$ 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
313
с лагранжевой плотностью вида
т
i. / = 1
где x = (xi....x„) — точка n-мерного пространства, uu ...
..., чт — искомые функции, a g*7 — известные функции, причем giJ = g/i, i, j— 1, т.
Уравнения Эйлера вариационной задачи для функционала (119) при detig*7f^O представляют собой эллиптическую систему квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка
Способ, указанный в пункте Iе настоящего параграфа, позволяет построить точные решения системы (120) в виде
где v — произвольная гармоническая функция переменных *ъ • • •» хп, а сох (о), ..., в>т (о) — решения системы квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
/=1, ..., т.
В справедливости этого утверждения сразу убеждаемся, если учесть, что в результате замены искомых функций
(121) система (120) записывается в виде
i=l, ..., т.
(120)
Ui = (ОI (и), i = 1
(121)
т
т
2 в" («:
*1» • • • » (&т,
U *= 1 1 = 1, ..., т.
814
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5°. Система уравнений ферромагнетизма. В некоторых, весьма важных случаях система обыкновенных дифференциальных уравнений (122) легко интегрируется. Такая ситуация возникает, например, в теории ферромагнетизма при изучении ферромагнетика по модели Гейзенберга. В случае двумерного ферромагнетика п = 2, т = 2, и если обозначить иг и и2 соответственно через В(хи **) и <p(*i, х2), то лагранжеву плотность можно задать формулой
L (0, ф)=.(У8)* + 8т28(7ф)г
и, стало быть, система (120) должна иметь вид
Д8 — sin 0 cos 8 (Уф)2 = 0, Дф + 2^0 V0 Уф = 0. (123)
Функции 8 и ф выступают в роли географических (сферических) координат.
Вводя для юх. ®2 обозначения ои1 = 0(и), ®2 = Ф(у), на этот раз вместо (121) будем иметь
0 = 0 (и), ф = ф(и), (124)
и система обыкновенных дифференциальных уравнений
(122) запишется в виде
0"-5т0со5 0ф'' = О, ф* + 2^ 00'ф'= 0- (125)
Из второго уравнения системы (125) имеем
ф'-да?* - (126>
а из первого с учетом (126) —
"'•-‘i-jm- <|27>
где с и Ci — произвольные постоянные.
Уравнение (127) интегрируется сразу, и для cos 8 получаем
cos8=*-i ур* — 1 sin(zp:pct> + c1),
где ^ — произвольная постоянная, аср =— V~C\. В правой части этой формулы вместо rp [kci с2 без ограничения общности можно писать р&, ибо v (хи *2) — произвольная гармоническая функция. Следовательно, имеем
cos 8 = р ]/р2 — 1 sin ри. (128)
8 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 315
В силу (128) из (126) получаем
[J2 cos* jit» + sin* fit; ’
т. e.
q> = arctg p tgpu + cs,
(129)
где c3 — произвольная постоянная.
Формулу (128), очевидно, можно записать в виде
Таким образом, формулы (129), (130) дают класс точных решений системы (123), содержащих произвольную постоянную Р и произвольную гармоническую функцию f (*i> х2). Их можно считать, вообще говоря, комплексными. Решения (129), (130), соответствующие Р=0 и Р = 1, даются формулами
При действительном р, Р*> 1, и действительной v (xlt х2) формулы (129), (130) дают действительные ррше-ния системы (123).
Заметим, что выше при построении решений системы
(123) мы исходили из требования параллельности векторов V0 и 7Ф.
Некоторые классы точных решений системы (123), отличные от (129), (130), можно построить, если допустить, что векторы V0 и Vф ортогональны.
Если 0— гармоническая функция, то ф должна быть постоянной. Если же предположить, что ф (хг, дс*) — гармоническая функция, то в силу второго уравнения (123) будем иметь
в = arctgp^== + ctg« pw.
(130)
Ф = arctg v,
Ф = и + с3, 6 = (2s+l)^, s = 0, ± 1, ...
и
V0 Уф = 0,
т. е.
(131)
316
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
На основании (131) и гармоничности функции <p(xlt xt) заключаем, что
3(8, /)
д(хи х2)
= /V/Vq) = 0. (132)
Тождественное выполнение равенства (132) означает, что между функциями 0 и / существует зависимость, не содержащая явно независимых переменных xlt х2.
Считая, что 9 = 6 (/), в силу (131) из первого уравнения (123) получаем
sin9cos0d0 = /d/,
т. е.
f = ± jAin2 0 + с4, (133)
где ^ — произвольная постоянная.
Из равенств (131) и гармоничности функции q>(*i, дса) следует, что выражение
Г-ай^-Й*- (134>
является полным дифференциалом.
На основании (133) и (134) заключаем, что
-1- dB d<a(xlt х2), (135)
V sina 0+с4
где функция ю(^1, х2) строится интегрированием полного дифференциала dx1 — -^-dx2.
Из равенства (135) в результате интегрирования имеем
-‘Sydbf(136)
где
k = zr 1
VT+г,-
