Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 83

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 .. 88 >> Следующая

летворяет уравнению (157) и, стало быть, определенная по формуле (155) функция Ф(г) является решением уравнения (150).
8°. Уравнение Лиувилля. Квазилинейное уравнение
д*и
^ = const, (159)
называется уравнением Лиувилля.
Из уравнения (159) и выражения
_g3“ _ kcn
дх*ду ~ке Их’
полученного его дифференцированием по х, в результате исключения кеи получаем
Й -4 = 0, (160)
дх ду ду
где
' г = ж- (161>
322
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение (160), очевидно, равносильно уравнению Рик-кати
(162)
где /(^ — произвольная непрерывная функция переменного х.
Примем обозначение
П) Ф'М 2 ф'а (*)
где ф(х) — произвольная трижды непрерывно дифференцируемая функция (выражение f(x) называется производной Шварца или дифференциальным инвариантом Шварца функции ф (*)).
Легко убеждаемся в том, что выражение
zlx и) =¦ ^_______2<р'(*) П63^
' ф'(*> ф(*)+Ч»(*г) •
где ф (у) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, является решением уравнения (162).
Подставляя г(х, у) из (163) в (161), после интегрирования получаем решение уравнения (159):
и (х, у) = log ф' (х) - 2 log [ф (х) + *|> Ш + log ф' {у) -flog I
или
„я _ 2 Ф' (*) Ф' (у)
к [ф М+'Р (</)]*
(164)
Формула (164) впервые была получена Лиувиллем. Рассмотрим теперь уравнение
-ш + w-fe=const- (165)
Записывая уравнение (165) в переменных z = x+iy, 2 = x — iy, v(z, г) = u(^±L, в виде
HzW •
| 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
323
на основании (164) приходим к заключению, что его решением является функция, определенная из равенства
е* = е*= 2 ф'(г)ф'(г)
k [ф (г)+ф (г)]* ’
где ф (г) — произвольная аналитическая функция комплексного переменного г.
9°. Синус-уравнение Гордона. В физике и технике часто приходится иметь дело с уравнением
-fck = sinu' (166) известным под названием синус-уравнения Гордона.
Выписать в конечном виде сколько-нибудь общее решение уравнения (166) затруднительно. Однако, если искать его решение в виде
и (х, у) = ф (оос + Pi/), а = const фО, р = const Ф О,
то для определения функции ф получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
Ф'(z) =sin ф, z = ax + $y. (167)
Умножая (167) на 2ф' и интегрируя, будем иметь
—Ir^+lb <1в8>
где с —произвольная постоянная.
Очевидно, что решением уравнения (168) является функция ф(г), определенная из равенства
где Ci — произвольная постоянная. В предположениях, что с^1, ар>0, полученная таким образом функция и = ф(ах + Ру) будет действительным решением уравнения (166).
10°. Задача Коши —Дирихле для одного класса нелинейных уравнений параболического типа. В приложениях часто встречаются нелинейные уравнения параболического типа вида
J? = Aii + /(M)(VM)«t (169)
324
ГЛ. VII. нелинейные уравнения
где t — время, Д и V — соответственно операторы Лапласа и набла по пространственным переменным Х\, ..., хп, а /(ы) —заданная функция, определенная для всех значений искомого решения и(х, t).
Непосредственной проверкой легко убеждаемся в том, что в результате замены искомой функции
ы = ф(0), (170)
осуществляемой посредством равенства
Jexpf (z)dzjdx = v, r0 = const, (171)
To 4, '
для определения новой неизвестной функции v(x, t) получаем линейное уравнение теплопроводности
| = Ду. (172)
Поскольку структурные и качественные свойства решений уравнения (172) хорошо известны, при исследовании свойств решений уравнения (169) фундаментальную роль может сыграть равенство (171).
В общем случае задания функции /(и) характер зависимости между искомыми функциями и(х, t) и v (х, t), связанными равенством (171), является весьма сложным. Поэтому естественно ограничиться рассмотрением конкретных примеров уравнения (169).
Будем считать, что f (и) представляет собой сумму ряда Лорана
ОО
/(«)= 2 акик,
к =—оо
где а* —известные числа.
В силу формулы (171) имеем
U ___
5 ja~‘ Пехр (*ТТт*+1)dr=v' (173)
То к
где п — знак бесконечного произведения, в котором индекс k принимает все целые значения кроме —1.
$ 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 325
Из формулы (173), в частности, видно, что краевые условия как первой краевой задачи, так и задачи Коши — Дирихле
и(х,0) = щ(х), х = (хи ..., х„) (=Е„ (174)
для уравнения (169) порождают соответствующие краевые условия для решения v(x, t) уравнения (172). Причем для обеспечения корректности постановки задачи (169), (174) функция и0(х) и числа ак должны быть Подобраны так, чтобы, например, краевое условие задачи Коши — Дирихле
и0(х) __
v(x, 0)= J т0- JJexp(-q^Tft+1)dT==i>0(x), х^Еп, (175)
То к
для уравнения (172) не выводило из класса единственности решения последней задачи.
Если функция UoM удовлетворяет условию корректности задачи (172), (175), то, пользуясь «-мерным аналогом формулы (14) главы IV
,)-W®rlt,o(l)exp(“Ii^r?)‘5’
где
П
\х-1 г = S (Xi-h)\ « =
1=1
дающем решение этой задачи, получаем искомое решение и(х, t) задачи (169), (174) в результате обращения равенства (173).
Когда коэффициенты ak при k Ф—1,0 все равны нулю и a-i = т — целое число, то решения и (х, t) и v (х, t) уравнений (169) и (172) связаны между собой формулами
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed