Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
“!><!• “<?¦ *><?' <52>
где М — максимум f, когда ее аргументы удовлетворяют условиям (48). В силу (52) очевидно, что, когда (х, у)
294
ГЛ. VII. нелинейные уравнения
принадлежит прямоугольнику ?>х = {0a, 0==S«/«=S(J}, определенные из формулы (51) значения
„ iv ,л ди" У) ди« (*» У) ипух, у), дх ' ду '
ti ~ 1, 2, ... |
удовлетворяют условиям (48).
Покажем, что сумма и(х, у) ряда
Ui(x, У) + [и2(х, у)-и1(х, у)] + ...
... + [ип(х, у)-ип^(х, у)] + ... (53)
является решением задачи (47), (50), если функция f удовлетворяет условиям 1) и 2).
Примем обозначения
Л = шах(Л1( А2, А3), A = max(fe1( k2, k3),
# = тах[зл, л(2+^)].
В силу (51) и первого нз неравенств (52) имеем
IМ*. У)1«?Л,
диг
дх
¦А,
диг
¦~ду
А.
(54)
Далее, пользуясь неравенством (49), на основании (51) и (54) получаем
IM*. y)-U!(x, у) |<
X у
ди^
dt
+
dux
dr]
<h\^kN
foiUt-Ux) ^kN(x+y), ^(Ua-Ui) <kN(x+y).
Продолжая этот процесс, находим, что для любого натурального п
:kn-iNn-i(j±y)l
| Un tln—i j д / ч
gj (ип — un-i)
д ду
(Цп «я—l)
п\
¦ Un-lMn-l(* + y)n~l
,R 1 (n-l)l ’
- Ln-1 Kfn-1 (Х + У)"-1 = K iV („_!)! *
(55)
На основании оценок (55) заключаем, что ряд (53) сходится абсолютно и равнимерно и что его почленно
§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
295
можно дифференцировать по * и у. Очевидно, что и(х, у)= lim ип(х, у). На основании этого предельным
а -+00
переходом в (51) убеждаемся, что и(х, у) является решением задачи (47), (50).
2°. О единственности решения задачи Гурса. В принятых в предыдущем пункте предположениях относительно правой части f уравнения (47) легко доказать единственность решения задачи (47), (50). Действительно, пусть и(х, у) и v(x, у) — два решения задачи (47), (50). Из очевидных тождеств
и(х, у)= j d% J f(l, т], и, щ, ~)dr],
v(x, у)= ( dt^f(l, т], у, J, dt]
0 0
для разности w = u(x, y) — v(x, у) получаем w(x, у) =
= Sdl ? [К2, т1, S’ ц’Vt I’ Шйц-(56)
Отсюда в силу (49) имеем
I dw
kN(x + y), ^kN(x + y), (57)
где k и N — введенные в предыдущем пункте положительные постоянные. На основании (57) из (56) снова получаем
\w\^k2N2(x±y)\
I dw дх
ду
2!
Продолжая этот процесс, приходим к заключению, что для любого натурального п
а>(х, У)
Отсюда следует, что w (х, у) = 0, т. е. и (х, y) = v (х, у).
296
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Единственность решения задачи (47), (50) может не иметь места, если функция f не удовлетворяет условию (49). В этом непосредственно убеждаемся на примере уравнения
которое имеет регулярные решения и(х, «/) = 0 и v(x, у) =
— yg *2У2> удовлетворяющие условиям (50). Правая часть
уравнения (58) не удовлетворяет условию Липшица (49).
В дополнение к сказанному в начале предыдущего пункта заметим, что уравнение Монжа — Ампера
гиперболично вдоль любого его решения, ибо дискриминант соответствующей ему характеристической формы
равен 1. В частности, вдоль решений иг = ху и и2 = — иг имеем Q = ±2dxdy. Следовательно, прямые х = 0 и у = 0 являются характеристиками уравнения (59), соответствующими его решениям ии — ии которые обращаются в нуль при * = 0, у = 0. Таким образом, для задачи Гурса (50) в случае уравнения (59) не имеет места единственность решения.
3°. Задача Коши для одной квазилинейной гиперболической системы. В настоящем пункте речь будет идти
о задаче Коши для квазилинейной гиперболической системы первого порядка вида
где %(х, t) — заданная действительная непрерывно дифференцируемая диагональная матрица с элементами 'kk(x, t), k = 1, ..., N, вектор / = (/i,..., fN) задан в некоторой односвязной области изменения переменных х, t и для всех значений искомого вектора и = (иг, ..., uN). Предполагается, что носителем данных Коши является отрезок I прямой f = 0, причем
(59)
(60)
и {х, 0) = 0, us/.
(61)
§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
297.
По данному в § 2 введения определению, характеристики системы (60) составляют N-параметрическое семейство кривых Ck: xk = xk(t), определенных из обыкновенных дифференциальных уравнений
Обозначим через Е множество точек (х, t) плоскости переменных х, t, обладающих тем свойством, что все кривые характеристического пучка, выходящие нз точки (х, () в направлении прямой t = 0, пересекаются с отрезком /. Пусть G —область, содержащаяся в ? и охватывающая /.
Поскольку в силу (62) вдоль кривой Ск от точки Ц* (*» t), 0] до (х, t)^G для решения и (х, t) системы (60) имеют место тождества
равенству (60) в силу (61) для решения и(х, 0 задачи
(60), (61) можно придать вид л, О
М*. 0= $ f(h, X, BHr{tWdт, (63)
О.0]
где [5ft (х, t), 0] —точка пересечения характеристики ?а = 5а(т), выходящей из точки (х, t) с 1.
Интегральный оператор Т в правой части формулы
(63) каждому непрерывно дифференцируемому в области G вектору и(х, t), удовлетворяющему условию (61), ставит в соответствие непрерывно дифференцируемый в этой же области вектор v(x, t), удовлетворяющий условию (61).
Задача (60), (61) будет решена, если нам удастся найти неподвижную точку отображения v = Tu, т. е. функцию и(х, 0, удовлетворяющую уравнению
