Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
цт+i _ v при тф—1, Оо — 0, (176)
и
expa0« = t', аоф0, (177)
или
u = expv (178)
326
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
при т = 0 или т —1, Оо = 0, соответственно. В этих случаях в классе знакопостоянных решений уравнения (169) (при ао = 0 без ограничения общности их, очевидно, можно считать положительными) краевое условие (175) принимает вид v (х, 0) = и0 (х) = и™+1 (дс) в силу (176) и v (х, 0) = = v0 (х) = log и0 (х) в силу (178). Класс единственности решения задачи (169), (174) в случае (176) определяется легко. Очевидным образом устанавливается класс единственности решения этой задачи при ak = 0, k<—1, m> 1, в равной мере, как и в случае (177), но уже без требования знакопостоянства решений. Значительно осложняется решение задачи (169), (174), когда по меньшей мере один из коэффициентов аь с индексом k<.—1 не равен нулю, или а_х = —1. На примере а_х = —1, ak = О, —1, в силу формулы (178) приходим к заключению, что задача (169), (174) в полупространстве />0 имеет бесконечное множество стремящихся к exp w (я, 0) при t-* 0 решений вида
и(х, t) = expw(x, O-exp^exp^-L^JJ,
где с—произвольная действительная постоянная, а w (х, t) — произвольное решение задачи Коши — Дирихле для уравнения (172) из класса единственности.
Формулы (170), (171) позволяют строить .решения уравнения (169) с различным характером асимптотики по t. Эти же формулы позволяют значительно упростить изучение структурных и качественных свойств некоторых других классов нелинейных параболических уравнений, содержащих квадрат градиента искомого решения в виде слагаемого с коэффициентом, зависящим от самого решения. Так, например, уравнение
Ш = гЬ(Й) +(“+l)bgp(u+l)
в результате замены искомого решения по формуле
и — exp v — 1
переходит в уравнение
dv d*v ,
| 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
327
Пусть теперь заданные «-мерный вектор а = (аь ... ,ап) и скаляр Ь зависят соответственно от х и от и, а под aVu понимается скалярное произведение векторов а и V«. Замена (170) позволяет приводить уравнение
^ = Ди -f f (и) (Vu)a -f а (х) Vu + b (и),
которое отличается от уравнения (169) двумя последними слагаемыми в правой части, к более удобному для изучения виду
~ = Au + a(x)Vt; + c(tO,
где
е/р> = Мф(р)) ф'(0) '
11е. Задача Коши для уравнения (86). Будем считать, что вектор а (и) в уравнении (86) задан для всевозможных значений искомого решения и (х) и имеет непрерывную производную. Как уже было показано в пункте 1° настоящего параграфа, определенная по формуле (89) функция и для любого непрерывно дифференцируемого вектора а(и) = (аъ ..., a„), ортогонального вектору а (и) при соблюдении условия (88), является решением уравнения (86)
В случае двух независимых переменных х, t запишем уравнение (86) в виде
| + <Ф)| = 0, (179)
где а (и) на этот раз скаляр. В силу (89) наиболее общее
решение уравнения (179) дается формулой
u = F[x — а (и) <], (180)
где F — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию
1 + F' (©)а' (и) tФ0, о = x — a{u)t.
Требуя, чтобы определенная по формуле (180) функция и (х, t) удовлетворяла начальному условию
и(х, 0) = ио(х), —оо<лг<оо, (181)
328
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
получаем, что для всех значений х, —оо<я<оо,
F (х) = и0 (х)
и, стало быть,
и (х, t) = и0(х — at). (182)
Формула (182) позволяет особенно прозрачно представить себе картину нарушения единственности и появления особенностей решения задачи (179), (181). В частности, при а(и) = и, tio(x) = x решением задачи (179), (181)
является функция и(х, t) = всюду на плоскости переменных х, t кроме прямой t = —1, вдоль которой она претерпевает разрыв.
На нарушении единственности и появлении разрывов решения задачи (179), (181) может сказаться снижение порядка гладкости функций а (и) и и0 (х).
Для наглядности остановимся на двух примерах.
Сперва будем считать, что а(и) = и, ип (х) = sgn х,
— оо<Сх<Соо. В силу (180) имеем и0 (со) = sgnш. В рассматриваемом случае из обыкновенного дифференциального уравнения характеристик
dx — udt = 0, (183)
соответствующих уравнению с частными производными (179), следует, что через каждую точку (дг0, 0) вдоль полученного решения и(х, t) проходит по одной характеристической прямой x-)-t = x<s при Xo<0 и x — t = x0 при х0>0. Прямые x + t = 0, x — t = 0 любую окрестность D точки (0, 0) делят на четыре части, для которых примем обозначения ?^gU({±?j. Очевидно, что в DL и D+
имеется по одному решению и(х, 0=1 и u(xi t) =—1,
в D+ решения не существуют, а в Dz. имеются два решения: Ui(x, 0 = 1» «>(¦*» 0 = —1-
Пусть теперь а(и) = и, u0(x) = xsgnx, —со <х<оо. Поскольку в силу (182) и0 (ю) = <в sgn ш, то
ui(x, t) = х — U\ (х, t)t, и2(х, t) = — x+u2(x, t)t
или
Ul(X, t) = ЦГу U2(X, 0 = ^71* (184)
§ 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 329
Подставляя полученные выражения (184) в левую часть уравнения (183) вместо и(х, t), убеждаемся в том, что решениям ых (х, t), щ(х, t) соответствуют характеристические прямые х = с(<+1), x = c(i— 1), с = const >0. Следовательно, в полосе D между прямыми t= 1, t «=—1 имеем непрерывную функцию
