Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бицадзе А.В. -> "Уравнения математической физика" -> 80

Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.

Бицадзе А.В. Уравнения математической физика — М.: Наука, 1982. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): uravneniematematfizika1982.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 88 >> Следующая

0 = 0, (104)
наиболее общее решение уравнения (102) в силу формулы (100) можно записать в виде
<р(ы, v) = 0, (105)
где
<р = со К1 + |i2coa + arcsh цю — V, (Ю6)
И
и = со (v) — общее решение нелинейного обыкновенного уравнения (103), a o(xlt х2, х3, t) — общее решение линейного уравнения (104).
Задаче Коши для уравнения (102) G любыми достаточно гладкими начальными данными
и(х, t0) = x(x), ди(*: = v (х), х = (хи xt, х3), (107)
в силу (105), (106) и (107) соответствует задача Коши для уравнения (104) с начальными данными
v (х, /0) = X v 1 + Ц'2'!2 + ^ arcsh цт, до(х, t)
<=<t = 2vKl + |A2.
(108)
dt
Записывая уравнение (102) в виде
4
ди ди
. (=•
и учитывая, что величины ц и и действительны, убеждаемся в том, что оно типа Коши — Ковалевской. Ссылаясь на пункт 7° § 1 настоящей главы, можно утверждать, что для решения задачи (102), (107) имеет место единственность. В конце пункта 5° § 3 главы III было отмечено, что задача Коши (104), (108), в случае гиперболичности оператора (3 в предположении, что гиперплоскость t = t0 не является характеристической, корректно поставлена. Исходя из этого факта и принимая во внимание то обстоя-
810
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
тельство, что в силу (105) и (106) достаточное условие существования и (х) как неявной функции v (я) соблюдено:
g = 2/T+M^0,
приходим к заключению о представимости любого регулярного решения и(х) уравнения (102) по формуле (105). Это утверждение остается в силе и в случае эллиптичности оператора Q, ибо, как уже было отмечено в пункте 1° § 3 главы IV, при аналитичности коэффициентов эллиптического оператора Q регулярные решения уравнения (104) являются аналитическими функциями, а в силу пункта 3° § 1 настоящей главы задача Коши (104), (108) с аналитическими данными всегда' имеет, и притом единственное, решение.
3°. Некоторые другие примеры уравнений вида (95). Рассмотрим пример уравнения эллиптического типа
вида (95):
Ды —ue(Vu)* = 0, (109)
где А — оператор Лапласа, V — оператор набла, а б — действительная постоянная, принимающая значение —1
или 0. Сперва рассмотрим случай 6 =—1:
Ды — ^ (Vu)*==0. . (110)
В силу формулы (100) связь между функциями и(х) и v(x) дается формулой
и = е°, (111)
где I» —произвольная, вообще говоря, комплексная гармоническая функция переменных хг, х„.
В ограниченной области D с гладкой границей dD = S рассмотрим задачу Дирихле
u(x) = f{x), xeS, (112)
где f(x) — заданная действительная непрерывная функция.
На основании формулы (111) заключаем, что задача
(110), (112) всегда имеет, и притом единственное, регулярное в области D решение, знакопостоянное (без ограничения общности можно считать положительное) и непрерывное $ D\JS. Если отказаться от требования знакопостоянства
i 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 311
искомого решения и(х) задачи (110), (112), оно может оказаться не единственным. Действительно, рассмотрим случай, когда п = 2, область D представляет собой круг | х | < 1, a f (х) — 1 на окружности S: | х | = 1. Из формулы
(111) следует, что наряду с функциями Ui(*) и иг(х) решением этого уравнения является и их произведение и1(х)иг(х). Поэтому очевидно, что решением задачи (ПО),
(112) в рассматриваемом случае является семейство функций
U(x) = |F(2)|*exp^-l||7=^log|F(/)|dsj, /-в".
где F (г) — произвольная аналитическая в D функция комплексного переменного г = хг + ix2, непрерывная в D U S и отличная от нуля на S.
Рассмотрим теперь случай 6 = 0, т. е.
Ды — (Vu)2 = 0. (ИЗ)
В силу формулы (100) имеем
ехр [— и (*)] = v (х), (114)
где v (х) — произвольная гармоническая функция.
Из формулы (114) следует, что краевое условие (112) для решения и(х) уравнения (113) порождает краевое условие
v (х) = ехр[— f(x)], xeS,
для гармонической функции v(x). Отсюда на основании пункта 4° § 2 и пункта 2° § 4 главы I заключаем, что
задача (112), (113) всегда имеет, и притом единственное,
регулярное в области D решение, непрерывное в D\jS. Уравнение гиперболического типа
д»и д*и ж Г/ди\* /ди\*Т
W,-Sj-“*[k) -WJ-0 <1I5>
также имеет вид (95).
В случае 6 = —1, в силу формулы (100), решения этого уравнения могут быть представлены по формуле
и (х„ х2) = /i (хг + ха) f2 (л:, - х2), (116)
где h и /а — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.
312
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В треугольнике А (—1, 0) В(1, 0) С(0, —1) знакопостоянное (и на этот раз можно без ограничения общности считать положительное) решение и (хъ х2) уравнения (115), удовлетворяющее начальным условиям
и(хъ 0) = х(х1), *s==0 = v(*i)» — l<*i*?l. (П7)
в силу (116) дается формулой
/ х« Ч-х«
v (t) dt x(t)
:илу дается фирмулии
и(хъ хг) = Ух (%! + хг) х (*i - х2) exp I ^ j -
\ *, — X,
причем оно единственно.
При отказе от знакопостоянства искомого решения и(хъ х2) задачи (115), (117), когда 6 = —1, как единственность этого решения, так и его существование могут не иметь места.
Когда 6 = 0, в силу формулы (100) связь между функциями и(х!, Хъ) и v(x1, х2) дается формулой (114), причем на этот раз
»(*ь Xt) = fi (*1 + *г)+Ь(хг-х2), (118)
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 88 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed