Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнения (64) можно построить методом последовательных приближений. Действительно, потребуем дополнительно непрерывность по х, t и непрерывную дифференцируемость по их, uN всех компонент век-
(62)
и = Ти.
(64)
тора / с конечной верхней гранью М для модулей ,
298
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ уравнения
k= I, . За нулевое приближение решения уравне-
ния (64) примем ы(0) = 0, а последующие приближения определим по формулам
и{п) = Ти{п~1), п=\, 2, ...
Будем считать, что t<h.
Для разности ы(2) —ы(1) в силу теоремы конечных приращений имеем
|в‘«(х, 01 =
1 W *, и"')-fit, Т, 0)]dx (5. о)
(*. о л \ У tk'u'k1' dx ^ NMh, (1,0) *=i
где —средние значения функций
Повторением этого рассуждения находим, что для любого натурального п имеет место оценка
|u(n+1)(x, t) — uin)(x, t)\^NMh\u{n)(x, /) —ы</1~1,(*. 01- (65)
При достаточно малом h можно считать, что число
в = NMhc 1
и, стало быть, оценки (65), записанные в виде
|ы<п+1,(*. о-и^>(х, 01*?в|и(л,(*> t)-u^(x, 01, n= 1, 2, ...,
позволяют заключить, что последовательность п =
= 1, 2......равномерно сходится и в пределе дает реше-
ние и(х, t) уравнения (64). Можно показать также, что и(х, t) имеет непрерывные производные по х и /, т. е. и(х, t) представляет собой решение задачи (60), (61). Единственность решения устанавливается повторением рассуждения предыдущего пункта.
Задача Коши
и(х, 0) = 0, ut(x, 0) = 0 для квазилинейного уравнения гиперболического типа
д2и дРи г / j ди
dt* ~ Ш Г’ ’ дх
OU \ 1 dt)
§ 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 299
при помощи обозначений ди ^ ^ = v, —^ = w приводится к задаче вида (60), (61). Следовательно, ее решение, по крайней мере в малом, существует и является единственным.
4°. Об однозначной разрешимости задачи Дирихле для линейного эллиптического уравнения второго порядка. В пункте 2° ^ 2 введения было отмечено, что общее линейное равномерно эллиптическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными можно считать приведенным к каноническому виду
Lu = Au + a(x, y)~ + b(x, у)~ + с(х, у) u = f(x, у), (66)
где Д —оператор Лапласа по переменным х, у.
Пусть D — конечная односвязная область плоскости переменных х, у с гладкой границей S = dD. В задаче Дирихле (см. пункт 4° § 4 введения) требуется найти регулярное в области D решение и(х, у) уравнения (66), непрерывное в D U 5 и удовлетворяющее условию
«(*. У) = Ч>(х, У), (х, y)eS, (67)
где ф(х, у) — заданная непрерывная функция.
В пункте 4° § 5 гл. I было доказано, что, если в области D всюду коэффициент с(х, у) уравнения (66) удовлетворяет условию
с(х, у) С о, (68)
задача (66), (67) не может иметь более одного решения.
Легко видеть, что единственность решения задачи (66), (67) имеет место и в том случае, когда в условии (68) знак равенства не исключен. Действительно, для разности и двух решений иъ иг этой задачи мы должны иметь
Lu(x, у)-0, (х, у) е D, и(х, t/) = 0, {х, y)sS. (69)
В результате замены функции и по формуле
и — (А —е~Мх) v,
где число М больше верхней грани а(х, у) в области D, для и в силу (69) получаем
^v + a1^( + b~ + c1v = 0, {х, y)e=D,
v(x, у) = 0, (дс, y)(=St (70)
300
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где
2М М. (М—а)
Ае^* — \ ' Cl~° АеМх-\’
Подбирая число А настолько большим, чтобы выражение АеМх — 1 было положительным, добьемся выполнения условия Сх(х, у)<0 всюду в области D. Отсюда в силу пункта 4° § 5 гл. I заключаем, что задача (70) имеет только тривиальное решение. Тем самым справедливость сформулированного утверждения доказана.
Переходим к рассмотрению вопроса разрешимости задачи (66), (67). Предварительно заметим, что заменой и(х, у) через и(х, у) + и0(х, у), где и0 (х, у) — гармоническая в области D функция, удовлетворяющая условию (67), можно добиться того, что в условии (67) функция <р (х, у) тождественно будет равна нулю. При этом очевидным образом изменится правая часть уравнения (66).
Запишем уравнение (66) в виде
A u = F, (71)
где
F = f(x, у) — а(х, у)д?-Ь(х, у)^-с(х, у)и. (72)
Если была бы известна правая часть уравнения (71), в силу формулы (36) главы I получили бы решение и(х, у) этого уравнения в области D:
и(х, У) = — ^^в(х, у. I, i\)d?dn, (73)
удовлетворяющее краевому условию
и(х, у) = 0, (.х, y)eS. (74)
В формуле (73) выражение G(x, у, g, tj) представляет собой функцию Грина задачи Дирихле для гармонических функций. Ее существование можно считать доказанным (см. пункт 7° § 3 гл. II).
Когда а(х, у) = Ь{х, у) = 0 всюду в области D, равенство (73) можно записать в виде
«(*. ^)-2S jG(*’ yi Л)^dTl“/*(*• У)*
(75)
S 2. нелинейные уравнения второго порядка
301
где
f*(x, у) = — ^ ^ G (х, у, I, п)/(Е,
о
Записанное в виде формулы (75) равенство представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Задача (66), (74) в предположении, что а = Ь = 0, очевидно, эквивалентна интегральному уравнению (75). Когда дополнительно известно, что с (х, у) sg 0, как уже было показано выше, имеет место единственность решения задачи (66), (74) и, стало быть, единственность решения интегрального уравнения (75). Из единственности же решения уравнения (75) на основании теории Фредгольма (см. пункт 3° § 2 гл. V) заключаем, что задача (66), (67) имеет, и притом единственное, решение.
