Уравнения математической физика - Бицадзе А.В.
Скачать (прямая ссылка):
а (и) a (и) = 0. (87)
е 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
305
Легко видеть, что если непрерывно дифференцируемая
П
функция g (ах) скалярного аргумента ах = ^ а,*/ удов-
i=1
летворяет условию
g' (ах)(а'х)Ф 1, (88)
то функция и (х), определенная из тождества
и — g (ах) =» 0, (89)
является наиболее общим решением уравнения (86).
Действительно, в силу условия (88) существует неявная функция и (х), определенная из тождества (89), причем
V» « 8'{ах) а___ (90)
1 -g' (ей) (а'х) ¦
Подставляя выражение Vu из (90) в левую часть (86), в силу (87) убеждаемся в справедливости сформулированного утверждения.
В частности, общим решением уравнения
а(и)д?-Ь(и)д?у= 0, а* + Ь*Ф 0,
где а и Ь — заданные непрерывно дифференцируемые функции, является функция и (л;, у), определенная из тождества
u — g(ay + Ъх) = 0, (91)
где g (rj), г\ = ау-\-Ьх,— произвольная непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию
(a’y + b'x)g' Ф 1.
На основании этого утверждения можно построить класс точных решений следующей нелинейной системы уравнений в частных производных:
д2 д2 д2
Wd71u‘ + ft^(UlUi) + Wd73(UlUs) + Ll(Ul> “s) = 0*
dt дх^ (UaUl) dt dxt Ui dt дхя (UaUs) 4"" ^2 (ui, u2t us) = 0> (92)
d2 . d2 d2 ащ + S?,(“s"*) + й?3“»+ Ui‘ “s) = 0,
11 Д. В. Бицадз» -
806
ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где Li, La, Ьз — линейные операторы второго порядка,
I = d’“1 -L d*Ul ** dxl + lif
т _d*ut д*и2
дх; дх\
J _ д*и, , dau,
9 дх! дх?
Считая, что uhl= 1, 2, 3, являются функциями только хс и t, будем искать решения системы (92) в виде
(«1, 0, 0), (0, и,, 0), (0, 0, иа).
Тогда в силу (92) и (93) получаем
2и^-Ж = С1М’ 3. (94)
где с,- (х,) — произвольные непрерывно дифференцируемые функции переменного xi. Предполагая, что все с,- (х^ = 0, мы вправе пользоваться формулой (91), в которой
а = 2щ, 6=1, x = Xj, у — t.
Следовательно, в качестве точных решений системы (92) могут служить (их, 0, 0), (0, иг, 0), (0, 0, и3), где щ (х, t) — неявные функции, определенные из равенств
ui=‘gi(xi + 2tui), i= 1, 2, 3,
a gi — произвольные функции, непрерывные вместе со своими производными первого и второго порядка, удовлетворяющие условиям
1 -2^^°, т]г = *г + 2^, /-1,2,3.
Точными решениями системы (92) являются также выражения
Ul = t>i (jc4, Х3), U2 = У* (хь Xg), Us = Vs (Xj, x2),
где Vi, i»8, ^ — произвольные гармонические функции своих аргументов. В этом непосредственно убеждаемся, если будем считать, что каждая из ut, t'=l, 2, 3, не зависит от t и хг. В этих предположениях нелинейные члены в левой части (92) отсутствуют, а операторы L1( L^, L3 в (93) сводятся к оператору Лапласа соответственно по парам переменных (х8, х8), (хь х3), (х1( х*).
?(*«1 ааиа д*и3
дР дхг дх3 дхх дхя
д2иг д*и„
dt» дхх дх, дх, дх,
д*и3 д2иг д*н*
д(* dxbdxg дх2 дх.
S 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 307
2е. Редукция одного класса квазилинейных уравнений второго порядка к линейному уравнению. Квазилинейное уравнение
2 ¦’'«[«&-»<•»??]+
;./=i
п
+ 2!c'(x)lj+d(x'“)=0’ <9б)
/«. j *
где а'1 {х), b(u), с?(х), d(x, и) — заданнные функции, в результате подстановки
и = <о (у), (96)
где ю(о) и v (х) — новые неизвестные функции, принимает вид
Выбирая (о (о) как решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
о)" -Ь (©)©'' = 0, (98)
из (97) для определения функции и(х) получаем уравнение, линейное относительно ее частных производных второго и первого порядка:
2 2 'й + г<4*- “СИ-0- <")
I, /—1 <»1
Следовательно, если функции ю (v) и о (х) являются соответственно решениями уравнений (98) и (99), то определенная по формуле (96) функция и (х) будет решением уравнения (95).
11*
308
ГЛ. VII. нелинейные уравнения
Решение уравнения (98) выписывается в квадратурах: t/ = ajexp|—J b(t)dt jdr-f- р, (100)
где а, р — произвольные постоянные. Что же касается уравнения (99), в случае, когда
^d[x, ffl(y)] = d1(jc)y + daW.
оно является линейным:
П П
2 al/M^W/+2cl(x)?i + di(x)v + d*(x) = 0. (101)
./= 1 ‘ ;=1
По целому ряду случаев краевые, начальные и другие задачи, поставленные для уравнения (95) в зависимости от его типа, порождают по формуле (100) соответствующие задачи для линейного уравнения (101). Когда последние являются задачами, корректно поставленными для уравнения (101) и, кроме того, из равенства (100) однозначно можно определить и (х) как функцию v (л:), то исходная задача, очевидно, будет корректно поставленной.
В качестве первого примера уравнения вида (95), поддающегося исследованию по указанному в настоящем пункте способу, рассмотрим уравнение
? «+ J- ц*ыПыг = 0, (102)
где |х —действительная постоянная, Q — даламбериан,
?- 2 «"Mafe-
в четырехмерном пространстве с линейным элементом
П
dsa= 21 gi/(x)dx,dx„
i. /=i
а и {хъ х2, х3, х4) — искомая действительная функция пространственных переменных xlt хг, ха и времени t = x4.
S 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 309
Поскольку в рассмотренном случае уравнения (98) и (101) принимают вид соответственно
(1 + |Ло2) со" + рАисо'1 =0 (103)
