Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
>оо это произведение равно
я_я*+ - (О I и-' (О I 0)<0 I и (- О I 0)=
= <01(У(- /)и~'(О|о)=<о|с/(- t, 0Ю) =
= <0|г(ехр^ J Л'Я, (/')])Ю> =
- (0 I Г ^ехр ^ - i 5 df я; (У)] ) i О)-1.
Таким образом, т-функция (17.17) может быть записана в виде %{хи • • хп)
=
<° I т ( Ф1п (*0 .. ¦ Фш ы е*Р - i \ df h'j (f) I J I 0>
=---------------7 г i---------------Z4x------------• (17-21)
(0| Г ^exp |^- i J df h'j (/) J J I 0)
где t-*- оо. Наконец, сократим с-числовой множитель
exp |^-г ^ d/'?0(oj.
заменив #/(0 на Hi(t), и возьмем предел при t-> оо:
Т {Х\у ..., хп) =
190
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 17
Уравнение (17.22) представляет фундаментальный результат. S-матрица в
уравнениях, например, (16.81) или (16.139) вначале выражается через т-
функции, а затем, согласно (17.22), в виде ряда, целиком содержащего
только in-операторы. Теперь диаграммная интерпретация уравнения (17.22) и
вывод фейнма-новских правил вычисления представляют чисто алгебраическую
задачу.
§ 117. Теорема Вика
Для того чтобы представить каждый член в (17.22) в виде, удобном для
вычисления, переставим каждый оператор уничтожения шаг за шагом направо,
а каждый оператор рождения налево; при этом в конце концов мы приходим к
выражению, в котором операторы рождения и уничтожения действуют
непосредственно на вакуумное состояние и дают в результате нуль.
Указанная процедура нормального упорядочивания хронологического
произведения, из которой непосредственно получаются фейнмановские
амплитуды, была впервые выполнена в 1949 г. Дайсоном [65, 66], а позднее
Виком [74], которые сформулировали и доказали следующую теорему:
Т (Фщ (*l) • • • Фщ (Хп)) = '¦ Tin (*|) • • • Фщ (О : +
+ [<° Iт (фщ Ы фщ (*2)) I °>: Фщ (*з) • • ¦ Фщ (*"): +
+ перестановки] -[-
+ [<° IТ (Фы (*i) Фш (*2)) I 0> <° I т (ф|"(*з) Фщ (О) I °) X X = Фщ (х5)
• • • Фш (хп) '¦ + перестановки] + ... +
'[<017 (Фы (*i) Фы Ы) I 0) ... <0 I Т (ф1п (*"_,) Ф!п (*")) | 0) +
+ перестановки], (п четно),
+{ттш^муо)...
... <0 I 7- (cpin (ха_2) ф1п (*"_,) I 0) ф1п (хп) +
+ перестановки], (п нечетно).
(17.23)
Вакуумные средние, или свертки полей в (17.23) возникают при (анти)
коммутации полей, необходимой для приведения произведения полей к
нормальному порядку множителей. Как мы убедились при рассмотрении
свободных полей, эти свертки представляют теоретико-полевой аналог
фейнмановских амплитуд. Напомним в этой связи определение нормальною
4 1171
Теорема вика
191
произведения операторов:
:CPin(*l) ••• ФшЮ:-
Разложим каждый оператор на положительно- и отрицательночастотную части
где ф(+> (х) содержит ператоры уничтожения, а ср<~' - операторы рождения.
Затем переставим операторы так, чтобы все операторы рождения оказались
слева от операторов уничтожения. Учтем также, что при каждой перестановке
ферми-полей возникает знак минус; тогда получим:
где сумма вычисляется по всем наборам А и В п индексов (причем каждый
индекс входит в сумму один раз), а 8Р означает четность перестановки
ферми-полей. Вакуумное среднее от нормального произведения всегда равно
нулю, поскольку
Именно это свойство оказывается весьма полезным при рассмотрении
дайсоновского упорядочивания хронологического произведения. В силу
(17.22) при вычислении S-матричных элементов нужно рассматривать только
вакуумные средние. Из (17.23) следует, что
1. Если п нечетно, то (0| Т(фщ (xj) ... фы (х")) |0) - 0.
2. Если п четно, то
Последнее равенство и есть требуемый результат. Оно выражает S-матрицу
через известные фейнмановские пропагаторы свободных частиц с физическим
значением массы.
Теорема Вика, из которой следует (17.27), может быть доказана по
индукции. Выражение (17.23), несомненно, справедливо для п = 1; проверим
его справедливость для п = 2. Пусть ф1п- эрмитово бозонное поле. Имеем
так как хронологическое упорядочивание отличается от нормального лишь
порядком следования операторов рождения и уничтожения, причем
коммутаторы, возникающие при перестановке
(17.24)
ф(+)|0) = <0|ф(-) = 0.
(17.26)
<° I Г (ФтО^О ••• ФтОп))!0)^
Х(0|Г(ф1п(х"_1)Ф1п(х"))|0). (17.27)
т (ф1п (*0 Ф," (*2)) = : Ф1п (а,) ф1п (х2) : + с-число,
192 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [гл. 17
операторов, представляют собой с-числа. Взяв вакуумное среднее, получим
7(Фш(*1)Ф1пЮ) =
= : Фы (х0 Фы (*а) : + (°1Т(Фщ (*,) Фш <Л)) I °>- (]?-28>
поскольку вакуумное среднее от нормального произведения операторов равно
нулю. Легко видеть, что аналогичный результат получается и для
фермиевских полей:
т (фщ (xi) ф,п (х2)) = : ф|П {хх) ф,п (х2): + (01Т (ф,п (jc,) ф," (х2)) |
0).
(17.29)
Таким образом, (17.23) справедливо для п - 2. Предположим теперь, что
(17.23) выполняется для п множителей, и покажем, что отсюда следует его
справедливость для п + 1 множителей. С этой целью рассмотрим выражение
7(Ф,"(*|) ••• Ф.п(Лж)> Пусть для определенности tn+\ меньше tu ..., tn,
тогда Т (Фщ (*i) • • • Фщ K+i)) = Т (Фш (*0 • • • Tin (*")) Фы (*"+1) =
= : ф1п Фы (xn) •• Фы (*"+.) +
+ ? <°17(ф,п(*,)ф|п(*2))1°>Х
