Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
/y5/5F (г/2 - г/3) X X г'У6*'5р (г/з - г/0 гу6г'5д (г/4 - г/0 +
+ 5 членов, получаемых перестановкой внешних линий. (17.47)
204
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. I?
Отметим знак минус в (17.47). Он обусловлен тем, что при вычислении
свертки ф(?л0 с ф(?А) необходимо выполнить нечетное число перестановок. В
общем случае произвольной диаграммы при вычислении замкнутой электронной
петли вклад соответствующей диаграммы умножается на -1. Действительно,
Рис. 17.12. Замкнутая фермионная петля как часть некоторой произвольной
диаграммы.
виковское произведение для замкнутой петли, изображенной на рис. 17.12,
равно
Н- <01Т (ф (уд Гф (уд ф Ы Гф (уд ... ф (уп) Гф (уа)) I 0) =
= - <0|Г(ф(?/п)ф(?/1)Гф(?/,)Ф(?/2>Г ф(?/"_1)ф(?/")Г|0) =
= (- 1) Sp i SP {уп - уд Г iSP (у i - у2) Г ... iSp (уп_х - уп)Т +
+ перестановки. (17.48)
Объединив (17.46) и (17.47), получаем в импульсном пространстве
о,...........\ ' (2я)4 б" (<?8 + ?4 - ?i - qt)
qi> Яи (tm)-----------------(2я)°У1б^^
где
ЯЯ = - ig* Sp х • ф,т • ф2т • ф'т • ф* X
X S SP 'Ye р + ^ _ м + /е iys + +fo-M + ie *
X p+jJ-й + Т, iys p-JTfte + 5 перестановок. (17.49)
Выражение (17.49) в точности согласуется с выражением, полученным по
фейнмановским правилам (см. прил. Б, т. 1).
§ 121] Л-Я-РЛССЁЯНИЁ 205
К сожалению, интеграл по внутреннему импульсу р логарифмически
расходится1). Для того чтобы устранить эту расходимость, необходимо
ввести дополнительный контрчлен в лагранжиан мезонного взаимодействия.
Простейший контрчлен имеет вид
-2Х = ЖХ(Ф) = 'ДбЯ:(ф ¦ ф)2:, (17.50)
где 6Я-бесконечная константа, которая сокращает расходимость в (17.49);
при этом конечный ответ для амплитуды я - я-рассеяния получается после
вычитания бесконечных контрчленов. Вычисление интегралов и шпуров в
(17.49) требует громоздких выкладок; помимо всего прочего, такое
вычисление не слишком полезно, поскольку трудно ожидать, что ряд теории
возмущений сходится (g2/4я = 15). Установим далее некоторые общие
свойства амплитуды рассеяния, определяемые требованиями симметрии.
1. Ей- скалярная функция инвариантов
s = (<7i + q2)\ t^iqi - Qz)2, u = {ql - qi)2, (17.51)
где
s + t + и = 4р.2.
В физической области рассеяния qi + <72-> <7з Ч-<74 s ^ 4р2, t sg; 0, и
sg; 0.
2. В предположении зарядовой независимости Ш имеет следующую изоспиновую
структуру:
ЗИ = ($1 • ф2) (ф* • ф*) A (s, t, и) + (ф; • ф*) (ф2 • ф*) В (s, t, и) +
+ (Ф1-Ф;)(Ф2-Фз)С(5, t, и). (17.52)
3. Амплитуда Ш обладает свойством кроссинг-симметрии, т. е. не меняется
при перестановке любой из внешних частиц:
q2++ - q3, ф2 *-> Фз*. q2*-* - qv ф2-^ф*; s*-*u, qs*-+q4, Фз^Ф^ t++u.
Это свойство следует из (17.46) и симметрии т-функции. Отсюда
А (s, t, и) -В (/, s, и) - С (и, t, s) - A (s, и, t) -
= В (и, s, t) = С (t, и, s). (17.53)
') Эта расходимость не возникает в квантовой электродинамике, где в силу
градиентной инвариантности на амплитуду рассеяния света на свете
налагаются дополнителньые условия. Дальнейшее обсуждение этого пункта см.
в § 146.
206 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 11
В приложениях часто используется амплитуда с данным изотопическим спином.
Для того чтобы получить выражения для этих амплитуд, введем изотопические
инварианты Ри которые отвечают определенному изотопическому спину в
реакции 1+2-> ->3 + 4:
/>0=7з(ф, • фосф; - фо.
Л = 7* [(Ф, • Фз*) (Ф2 • $0 - (Фх * Й) (Ф2 • Фз)]. =7* к*, ¦¦;)(¦, ¦$;)+
+ (ф, • ф;) (ф2 • ф*)] - 7з (ф1 • ф2) (ф; • ф;). (17.54)
Определив
pi = Ф!;Ф2/Фз*Фцр/ ("'М0. (17.55)
легко проверить, что
з
X] Pj(ijmn)PI'(mnkl) - PI(ijkl)61I'. (17.56)
т, п=1
Подробные выкладки мы оставляем читателю. Далее имеем (<7з. <74"> <7ь
<7г) - + А2Р2,
где
Л0 = ЗЛ + В + С, Ai = B-C, А2 - В С, (17.57)
причем Ai - искомые амплитуды рассеяния с полным изоспином /. В
симметричной точке s = t = и = 4ц2/3, согласно
(17.53), А = В = С и
Ао = 5/2А2, + = 0, s - t = u. (17.58)
Эти соотношения будут использованы в § 135 при рассмотрении техники
дисперсионных соотношений.
§ 122. Графическая техника в квантовой электродинамике
В предыдущих параграфах мы вывели фейнмановские правила вычисления
диаграмм, суммированные в приложении Б 1-го тома и уже использовавшиеся в
первом томе. Однако случай квантовой электродинамики требует отдельного
рассмотрения. В квантовой электродинамике имеется два типа диаграмм.
Первый из них содержит обмен поперечным фотоном. Соответствующая вершина
равна -ieоуц, а пропагатор, согласно (17.33), равен
iDp (ц, T])^v
i Г_ _ <7ц<7у (<7Л) (?цЛу + т)ц?у) _ ?2т)цТ1у 1
q2 + г'е L (^г))2 - q2 (qr\)2 - q2 (^r))2 - q2 J
'
(17.59)
§ 122]
ГРАФИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА
207
где вектор rj = (1, 0, 0, 0) определен в той лоренцевой системе, в
которой выполняется квантование. Второй класс диаграмм содержит
мгновенное кулоновское взаимодействие (15.28)
е\ Г ...
----------4л\х-х'\-----------¦ (17-6°)
Докажем утверждения, сформулированные в § 87.
1. Из сохранения тока следует, что члены в (17.59), пропорциональные qр,
или <?v, не вносят вклад в амплитуду рассеяния ').
