Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
выкладки, приведшие к выражению (16.129), получаем
- -фг ^ rf4*<P out I т (Ф (М) Фа, Ы • • • Фрр (zP) Фх (х) I a in) X
X(-iVx-m)kxUps(x)x. (16.134)
Если in-состояние содержит не частицу, а античастицу, то (16.134)
заменяется на
фг ^ dH Vps (х)х (гv* - m)Tl X
X (- 1 )m+p (Р out | Т (фл (х) Ф (х,) ... фрр (Zp)) | a in). (16.135)
В том случае, когда частица и античастица извлекаются из out-состояния,
имеем соответственно
- фг ^ dH Up'S> (х)х (iVx - т)}л X
X <Р out | Т (ф* (х) qp (х,) ... Фрр(2р)) |ain), (16.136)
§ 110]
РЕДУКЦИОННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ДИРАКОВСКИХ ПОЛЕЙ
171
и
-j=r ^ <?х (Р out I Т (ф (Xi) ... -фРр (гр) фх (л:) I a in) х
Х(-l)m+p(- iVx - m)Kx V?S'(x)x. (16.137)
Описанная процедура приводит в конце концов к вакуумному среднему
(0|Г(фЫ ... фЫ ... ф(г.) • • •) I 0). (16.138)
В следующей главе будет показано, что выражение (16.138) представляет
сумму всех фейнмановских диаграмм, отвечающих рождению и уничтожению
бозонов в точках Xi, рождению фер-мионов и уничтожению антифермионов в
точках Z; и рождению антифермионов и уничтожению фермионов в точках yt.
Операторы Клейна - Гордона и Дирака в редукционной формуле
^ d*x fp(x)(nx + m2), ^ d4x UP'S> {x) (iV - tn) и т. д.
исключают концы диаграмм, отвечающие внешним частицам, и сажают эти
частицы на массовую поверхность. Множители i/x/Z, -ilx/Zz и //Z2 для
каждой бозонной, фермионной или антифермионной линии . г
обеспечивают перенорми-ровку соответствующей волновой функции, в
результате окончательный результат непосредственно равен амплитуде
перехода.
В качестве примера мы Рис 1ЬЗ Мезон-протонное рассеяние, рассмотрим
рассеяние мезона на протоне. Кинематика указана на рис. 16.3, где i
означает зарядовое состояние мезона. Применяя редукционную технику,
получим
Sfi = (q'\ p's' out | q\ ps in) =
= 6P' + S d*x d*x'd*z d4z' W (nx' + P2) X
X [Up's' (z') (iVX' - m)]o (0 IT (фа (z') фх (z) <р(- (x) фг {x')) | 0) X
X[ (- ZVX - m) ups(z)\r(Dx + |X2) fq (x), (16.139)
где p, m - масса мезона и протона соответственно, а ЬцфО только в том
случае, когда in- и out-состояния совпадают, т. е. Для рассеяния вперед.
При практических вычислениях в (16.139)
172
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА
[ГЛ 16
обычно используются плоские волны (16.9) и (16.88):
(16.140)
Ups (*) = -^з/Г д/ "(р' s) е~'РХ'
представляющие предельный случай нормированных волновых пакетов, при этом
8/< в (16.139) имеет вид
§ 111. In- и out-состояния и редукционная формула для фотонов
В заключение применим формализм, обсуждавшийся в этой главе, к полю
излучения. Указанный случай требует отдельного рассмотрения ввиду
трудностей, обусловленных нековариантным выбором калибровки при
квантовании уравнений Максвелла.
Напомним, что в калибровке излучения векторный потенциал поперечен и
описывается уравнением
Продольная часть векторного потенциала в этой калибровке равна нулю, при
этом скалярный потенциал определяется из формулы Гаусса
Таким образом, имеются две независимые компоненты векторного потенциала,
каждая из которых удовлетворяет (16.141). Одновременные перестановочные
соотношения для этих компонент имеют вид (см. (15.9))
Ситуация вполне аналогична канонической теории свободных полей, отличаясь
от последней лишь в том отношении, что масса квантов равна нулю и поле
поперечно, так что в (16.142) входит лишь поперечная часть б-функции.
6 п = б3 (q' - q) б3 (р' - р) б s's.
? А = е0/'г,
(16.141)
где
а поперечный ток определяется из условий
V ¦ Е = е0р = е0/о, V • jiT - 0.
VM0 - е0р.
[At (х, 0, Ak (х', /)] = [At (х, t), Ak (х', 0] = 0, [А,(х, 0, Ak{x', t)]
= ib%{x-x').
(16.142)
§ 111] In- И out-СОСТОЯНИЯ ФОТОНОВ 173
По аналогии с теорией скалярного поля введем поперечные in- (и out-)поля,
удовлетворяющие, в соответствии с (16.5) и (16.6), соотношениям
дх
О", Л1п (*)] Л," (х), ? Л|П (х) = 0. (16.143)
Поле Лш(лг), действуя на вакуум, рождает только1) однофотонные состояния
с Р2п = 0. Это можно показать тем же способом, каким мы получили
уравнение (16.8). Поскольку масса фотонов равна нулю, уравнение (16.143)
теперь не содержит массового контрчлена.
Выпишем далее фурье-разложение оператора Ат(х):
2
Аш М = S d3k Z [ain ^k' + к)А1,кЩ (16.144)
Х = 1
где
Ak х W == , - е~'кхг (k, к).
V (2я)3 2k0
Обратив (16.144), получим
ain ' 5 Al, l W ¦ ^0 Ain W =
= -i\d3xAlK(x)aT0Ain(xr. (16.145)
Последовательно действуя операторами a+ (k, к) на вакуум, мы получаем in-
состояние, содержащее п фотонов, в полном соответствии с (16.10) и
(16.11). Аналогичные результаты имеют место для out-полей и out-
состояний. Как обычно, мы предполагаем, что in- и out-состояния образуют
полный набор.
Выпишем уравнения, связывающие Лш(х) и Лои^я) с А{х). Эти уравнения в
точности аналогичны уравнениям (16.14) и (16.52) для скалярного поля:
VЛ1п (х) = А(х) - е0[ dly Dret (х - у) /1г (у),
_ f (16.146)
VЛои( (х) = А{х) - ео ^ d*y Dadv (х - у) jtT (у).
Здесь Dret и Dadv - предельные значения соответствующих функций Грина при
т-> 0, а константа х/определяется из усло-
