Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
оператору2)
i ЗУ{': П = Н\ (/) U (t, о,
Уравнение (17.10) уже встречалось при рассмотрении нестационарной теории
возмущений в нерелятивистской квантовой
') Для модели самодействующего скалярного поля
//1(0 = Я/(0 + Ео(0,
находим уравнение, определяющее U:
(17.8)
(17.9)
имеем
и
2, (ф*п) - */ (Фш) " Т : [т + №~ Ф?п]:.
Для фермионных полей массовый контрчлен в 36 { (<р1п) имеет вид
(т0-т):ф1пф,п:.
2) В дальнейшем будем писать H,(t) вместо
186
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Щл. 17
механике, поэтому решение этого уравнения нам уже известно. Записав
(17.10) в форме
t
U(t, /')=1 - i \dtxH',{t{)U{tu О,
t'
получаем итерационное разложение для U (/, /0:
f t t,
и (/, П = 1 - * 5 dt, ЯК/l) + (- if 5 dtx H'i (/,) J dh H': (h) + ...
t' r t'
t 4 tn-1
... +(-ов\dt2... j //;(/,)(/"> + ... (i7.li)
r t' r
Поскольку t\ ^/2^ ... ^/", каждый член в (17.11) хронологически
упорядочен. Поэтому вместо Я/ (4) ... Я/ (/") можно написать ТШг) •••
Hi(tn)), в результате имеем U(t, t') =
СО t t\ tn- I
= l + ?(-/)ra \dt{ \dt2 ••• ^ dtnT(H'i(t\) ... Я/(/")).
(17.12)
П=1 Г Г t'
Хронологическое произведение симметрично относительно перестановки
аргументов 4, ..., /", поскольку каждая такая перестановка включает
четное число перестановок фермионных полей и, следовательно, четное число
знаков минус. Это свойство симметрии подынтегрального выражения можно
использовать, чтобы промежуток интегрирования в каждом интеграле
распространить вплоть до /. Для п = 2
t tt t t,
5 dh \ dh (t(h', (/,) Hi (ti)) = 5 dh 5 du T (Hi (U) H'i (h)) =
r r ft' it
= \\dtx\dhT(H',(h)H',(h)).
t' r
Для произвольного n можно аналогично выполнить п\ перестановок п индексов
и распространить область интегрирования *на n-мерный куб. Так как каждый
из п\ членов вносит равный вклад, то t t
U (/, 0=1+2-4г"$Л1 ¦¦¦\dtnT(H'i(U) ... я:(/")Н
п=1 t' Г
= Т ^exp |^- / j H'i (/) dt j ^ = T exp i ^ йАхЖ, (ф,п (*)) j,
(17.13)
§ 116] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ ДЛЯ t-ФУНКЦИЙ И S-МАТРИЦА 187
где Г-экспонента означает символическую запись суммы упорядоченных по
времени членов, с которой она совпадает при разложении по степеням
константы связи.
Отметим полезное мультипликативное правило, следующее либо из определения
(17.9), либо из (17.13)
и (t, t') = U(t, t")U(t", t'). (17.14)
В частности,
U(t, t') = U~x (/', t). (17.15)
§ 116. Теория возмущений для г-функций и S-матрица
Используя (17.1) и (17.13), можно выразить S-матричные элементы через
вакуумные средние от in-полей. Из предыдущей главы известно, что S-
матричные элементы выражаются через одну фундаментальную величину -
вакуумное среднее от Т-произведения гейзенберговских полей ф(.г):
х (*i хп) = (0 | Т (ф fo) . . . ф (хп)) I 0). (17.16)
Из (17.1) и (17.9) получаем
т(*ь ..., *") =
= (0 | Т (и ф1п (aTj) U (tv ф1п (;с2) U ('t2, 13) ...
• ¦•tf *") ф.п(^)^(д)ю>=
= (0 | Г (U~l (t) U (/, ^,) ф.п (*^т) U (/р /2)...
-t)u(-t))\0),
где аргумент времени t мы в дальнейшем устремим к оо. В этом пределе t
больше, чем все tt, а -t меньше, поэтому U~l{t) и U (t) можно вынести из
хронологического произведения. В результате находим
x(xv =
= <01U~l(0Т(ф.Д*,) ... ф1п (*") exp [-i S я; (Оdt'j )и(-1) I 0),
(17.17)
где использована символическая запись (17.13).
Уравнение (17.17) выражает т-функции и, следовательно, S-матричные
элементы через in-поля. Зависимость от U~l (t) и U(-t) на самом деле
исчезает, поскольку вакуум является собственным состоянием этих
операторов при f->oо. Действительно, рассмотрим произвольное состояние
|apin), содержащее
188 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ (ГЛ. 17
частицу р и произвольный набор а других частиц. Пусть р - клейн-
гордоновская частица; тогда из (16.9) и (16.73) следует
(pa in | U (- t) | 0) = (a in | щп (р) ?/(-/) | 0) =
= - i \ cPxf; (х, - О (.А- - -±-) <а in I Ф(п (х, - О и (- 0 ] 0).
(17.18)
Используя (16.126) и (16.145), получаем аналогичное выражение в случае
фермионов и фотонов. Далее, в силу (17.1) выражение (17.18) приобретает
вид
(pa in 1 ?/ (- /) 10) =
= -i\dhf; (х, -t')X("in | U (-(') Ф (дс, -О и'1 (-/') U (-/) | 0), где
Согласно асимптотическому условию (16.20) при ( = /'->¦ оо получаем
У/з<а in | U (- /) а,п (р) | 0) + г ^ d3x f*p (х, - t) X
X<<*in|?/(-0q>(*, -0 + ^(-0ф(*. - /) С/-1 (- /) С/ (- /) | 0).
(17.19)
Очевидно, что
ain (р) I 0) = 0,
поскольку вакуумное состояние не содержит in-частиц. Поэтому первый член
в (17.19) равен нулю. Простые выкладки показывают, что и второй член в
этом выражении также обращается в нуль:
(Уф + и<?и-1и = UU~\lnU + ф inUU~lU =
*,"]"¦=-(["" Ф,"]и-о.
Здесь мы использовали (17.1), (17.8) и предположение о том, что Hi не
содержит связей с производными; общий аргумйгг t опущен. Поэтому
(ap in | U (- /)| 0)-> 0 при t-y<x>
для всех in-состояний ар, содержащих частицу. Отсюда
U (- 010) = 10) при (-*.оо. (17.20)
Аналогичным образом убеждаемся в том, что
U (t) 10) = Я+10) при t -*¦ оо.
§ 116J ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ X ФУНКЦИЙ И S МАТРИЦА 189
Константы А,-, Я+ входят в (17.17) в виде произведения Я_Я+. В пределе /-
