Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
перестановки
X : Ф1п (*3) ... Ф1п (xn) : ф,п (*я+1) + .. • (17.30)
Для того чтобы переписать это выражение в виковской форме, нужно внести
поле q>in(x"+i) внутрь нормального произведения п полей. Используя
(17.25) и (17.26), получаем
:Фы(*i) ••• Tln(*n):Tln(*"+l) =
= й 6Р Пл ф!п'(^) ПВ ф!+> (*,) [ф<+> (хп+1) + ф|-) (*"+1)] =
= й бр/ <?д 4>'п ' Д, № (Xl) W (Хп+1) +
+ 2 v П ф!п>(*,)ф{п}(хп+1),П ф!+>(дс,) +
А, В i в А /в В
+ Z v,П ф!^> (*,) Z, Д (*,)<01#' (*.)Ф!->(",") 10>.
i?=k
(17.31)
где бр, - четность перестановки, необходимой для упорядочивания
множителей в каждом отдельном члене (17.31). При введении фы (Хя+i)
внутрь нормального произведения мы получаем
§ 118]
ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
193
цепочку членов (последняя строчка в (17.31)), которые содержат коммутатор
(или антикоммутатор) Фщ1 (*"+О с полями чСЧ**) из набора В. Этот
коммутатор затем заменяется вакуумным средним. Используя далее (17.26),
можно выразить эти вакуумные средние через фейнмановские пропагаторы:
<" №(*.)¦*'(*,+,) io>"
= <° I ф" W Ч>," (*"+.) 10) = <0 17- (Ф|"(^) Ф," (*",)) | 0).
Здесь учтено, что in+i < tk. Наконец, переписав (17.31) в виде : Фш Oi) •
• • Фщ (хп) : Фш (хп+1) = : Фш (хд • • • Фы (¦*"+") : +
+ Z бр : Фш (а,) ... ф," (**_,) ф1п (xk+l) ... ф!п (хп) : X
Х(0|Г(ф!п(^)ф1п(х"+1)|0),
мы видим, что выражение (17.30) совпадает с (17.23), записанным для п + 1
множителей. Тем самым теорема Вика доказана. Мы рекомендуем читателю
тщательно проделать все выкладки для п = 3 и п = 4, после чего станут
ясными детали доказательства и в общем случае.
Применим теперь теорему Вика к (17.22). Напомним, что плотность
гамильтониана взаимодействия <Ж/(ф,п(г/)) уже имеет нормальную форму1).
Поэтому при упрощении хронологических произведений не появляется сверток,
содержащих произведение полевых амплитуд, взятых в одной и той же точке
у. Указанные произведения входят в (17.22) уже нормально упорядоченными,
причем очевидно, что
Т: Фш (У) Фш (У) '¦ = : Фы (У) Фш (У) '¦ • (17.32)
§ 118. Графическое представление
При рассмотрении (17.23) появляется три типа не равных нулю сверток: для
эрмитового (12.74) или комплексного (12.70) поля Клейна - Гордона
(° Iт (Фщ (х\) Фщ ЩI °)= (х - У> Iх2) -
f d*k p-ik(x-y)
= <17-33а)
<0 I т (ф1п (х) Ф;п (у)) I 0) = i\ (х - у, ц2); (17.336)
*) Исключение представляет статическое кулоновское взаимодействие в
(15.28) (см. также § 127). Однако и в этом случае не возникают свертки,
содержащие произведение амплитуд, взятых в одной и той же
пространственно-временной точке.
194
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
1Гл, и
для поля Дирака (13.72)
(О I т (*"¦ и * Щ10> - is, (* - у, т)"в = i 5
(17.33b)
и, наконец, для электромагнитного поля (14.51), (14.53)
(О | Т (Aln (х) (у)) | 0) = iD% (х - у)^ =
d>k e~ik(x~v) Г КК . (kr\) (fe^ny + ПиЛ)
= ¦1
(2л)4 k2 + is
~У)\ is L
lvH,vy
(kr\)2 - k2
(kx\)2 - k2
(kri)2 -k2\ (17'33r)
В последнем выражении вектор г) = (1, О, 0, 0) определен в той лоренцевой
системе, в которой производится квантование. Указанные свертки можно, как
и в фейнмановском подходе, представить графически; правила соответствия
указаны на рис. 17.1.
рх
/
/
<*!/
/
М/(2-У>Мг)
Рис. 17.1. Пропагаторы для полей Клейна - Гордона, Дирака и Максвелла.
В дальнейшем при записи функции распространения мы будем опускать
аргумент массы во всех случаях, когда это не ведет к недоразумению.
Теперь, рисуя каждый раз для сверток, возникающих при разложении Дайсона
- Вика для т-функции, линии, указанные на рис. 17.1, мы можем графически
изобразить каждый чден в (17.22). Поскольку рассматриваемые гамильтонианы
содержат произведения полей, взятых в одной и той же точке, пропагаторы,
сопоставляемые сверткам этих полей, должны "стягиваться" в те же самые
точки; сами же эти точки называются вершинами.
Проиллюстрируем графическую технику на конкретном примере
самовзаимодействующего скалярного поля:
Ж, (ф1п (*)) = ~ 7А : Ф?п W : + '/я (И-о И2) : Ф?п (*): • (17-34)
§ 118] ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 195
Во втором порядке по Яо и первом по бр,2 вклад в х(х\, х2, х3, х4) равен
Апбр2
-32" <° IТ (Фш (*i) Фы (*2) Т," (*3) Ф,п (х4) X
X : Ф?п (*/,):: Ф?п (у2):: ф?п (г/3): ) I 0). (17.35)
Применяя теорему Вика и используя диаграммную технику, получаем набор
графиков, типичный вид которых показан на рис. 17.2. Взаимодействие,
содержащее константу Яо, изображается 4-лучевой вершиной, а
взаимодействие, содержащее массовый контрчлен - 2-лучевой вершиной (рис.
17.3). Каждая линия,
Хр X* хг •%
Ч ? К /
\ /
У& &К X
S
4 ь 4 Ь
X, Х4 Xf Ц
а) Ф
Х2 Хз
?• V
Уз
N
4 4
3?f
&В
9
t
f
t
"
"
I
i
i
№
t
14 r
t
1
6
*9
Рис. 17.2. Типичные диаграммы, содержащиеся в уравнении (17.35).
выходящая из вершины, отвечает свертке полей в Жь Типичная диаграмма,
которая не содержится в разложении Дайсона- Вика, изображена на рис.
17.4; она исключается из рассмотрения, поскольку гамильтониан Ж\ имеет
нормальный вид и не содержит сверток двух полей, взятых в одной и той же
