Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
при условии, что поля коммутируют или антикоммутируют для
пространственно-временных интервалов:
[фг(*)> Ф* (У)] = 0. (х - у)2< 0 (16.177а)
или
{фг(х), ф,(г/)} = о, (х - у)2< 0. (16.1776)
Здесь фг(л:) и фs(y) означают различные комбинации клейн-гор-
доновских полей ф и (или) ф* или различные спинорные компоненты фиф
дираковских полей.
Для взаимодействующего поля Клейна - Гордона соотношение (16.177а)
выполняется, если рассматриваемая теория ло-ренц-инвариантна и квантуется
с коммутаторами. Использование же антикоммутаторов при квантовании
немедленно ведег к противоречию. Действительно, рассмотрим вакуумное
среднее
(о I {фг (х), ф5 (у)} I 0) S д; (х - у). (16.178)
Используя ту же технику, котроую мы применяли при выводе
выражения (16.32), получим
Д( (х - у) = ZlXx {х - у, т?) + J da2 р (а2) Д, (х - у, а2),
"2
1
ГДе Г Аъи
(*¦- УУ-1(е~тх~у) + етх~^-
Функция ДДл: - у) по-прежнему удовлетворяет уравнению Клейна - Гордона,
но не обращается в нуль для пространственно-подобных интервалов (л: - у)2
< 0. В самом деле, для интервалов
- (* - У? > -jr ________
д, (*. и nf)~ "'¦¦Ь? Д" ['_'¦).
Отсюда для больших х
со
7 -т\х\ Г о | х |
А!(х, 0)~ Zeup- -+ \ de'-pie2)^-^-.
Поэтому выражение (16.1776) не может быть справедливым и условие
микропричинности нарушается. Этим и устанавливается связь спина со
статистикой.
ЗАДАЧИ
181
При попытке квантовать фермиевское поле с коммутаторами происходит то же
самое. Изменение относительного знака двух членов, отвечающих различному
порядку операторов, приводит к замене функции Д в спектральном
представлении (16.111) на функцию Дь в результате снова возникает
противоречие с принципом микропричинности. Укажем, что приведенные
соображения носят весьма общий характер и применимы к полям с
произвольным спином, поскольку последние всегда могут быть построены из
произведения полей со спином 1/2.
В заключение имеет смысл отметить, что при квантовании, скажем, бозе-
полей с антикоммутаторами, нарушение принципа микропричинности происходит
на расстояниях порядка компто-новской длины волны частицы ~10-13 см.
Поэтому экспериментальное согласие с принципом микропричинности - одним
из наиболее важных следствий локальной теории поля - указывает на
применимость концепции локального поля, по крайней мере вплоть до
расстояний, сравнимых с комптоновской длиной волны элементарных частиц.
ЗАДАЧИ
1. Рассмотреть выражение
^ d*x ^ d*yf*a{x)fl (у)(ах + т2)(пу + т2) Т (<р (*) Ф (у))
и показать, изменяя порядок интегрирования, что
[Ф1п(*), Ф1пМ] = [Фош(*)' Фо,й Ml-
Рассмотреть затем тот же самый интегральный оператор, содержащий
произведение трех полей ф(х)ф(г/)ф(г) и показать, что
[[Фш(*)> ФшМ]> ф(*)] = 0.
(Обоснование возможности изменения порядка интегрирования см. в работе
[37].) Аналогичным образом доказать соотношение (16.121).
2. Показать, что S-матрица (6.56) может быть непосредственно выражена
через фейнмановский пропагатор Sp по аналогии с (16.82).
3. Предполагая сдвиг массы 6т2 в скалярной теории конечным, выразить его
через спектральную весовую функцию р (д2) в (16.27).
4. Показать, что S = 0^0, где 0 = fCtP.
5. Показать, что (0 | [ф,п (*), фои1 (у)] \ 0> = + /Д (х - у, т).
6. На примере фёрмионных и неэрмитовых скалярных полей проверить
выполнение условий 1-5 для S-матрицы, сформулированных в § 107.
7. Доказать неравенство 3 в формулах (16.113).
8. Построить спектральное представление для электрона в квантовой
электродинамике и обсудить свойства спектральной функции.
9. Доказать (16.115).
Указание. См. § 9 первого тома.
10. Установить связь спина со статистикой для фермионных полей, используя
при этом закон сохранения четности (который подразумевается в
ГЛАВА 17
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 114. Введение
В настоящее время известно два общих подхода к вычислению амплитуд
перехода и матричных элементов, которые позволяют сравнить предсказания
квантовой теории поля с экспериментом. Первый из них основывается на
разложении по степеням константы связи. В этом методе точные поля ф(х)
выражаются через in-поля фт(-*0> временная зависимость которых
определяется гамильтонианом свободных частиц. При этом мы снова приходим
к тем же диаграммам и фейнмановским правилам (а вместе с ними к
расходимостям), которые рассматривались в гл. 7, 8, 9 в формализме
одночастичной теории. Второй подход основывается на редукционной технике,
с помощью которой вакуумное среднее от коммутаторов выражается через
вакуумное среднее от произведения трех и более полей, после чего можно
применить аппарат теории аналитических функций. При этом не используется
малость константы связи, которая играет важную роль при построении теории
возмущений. Этот метод мы детально обсудим в следующей главе; в настоящей
же главе рассмотрим ковариантную теорию возмущений.
Наша задача заключается в том, чтобы записать амплитуды перехода и
матричные элементы в виде (бесконечной) суммы по степеням константы связи
и установить правила, с помощью которых может быть вычислен каждый
