Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
') Мы не обсуждаем здесь усложнения, связанные с инфракрасной
расходимостью, которая возникает при рассмотрении многофотонных состояний
с нулевой частотой. Мы уже убедились (гл. 8) в том, что при конкретных
вычислениях эту проблему следует каждый раз рассматривать отдельно. Мы
еще вернемся к этому вопросу в гл. 17.
174 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА [ГЛ. 16
вия единичной нормировки матричного элемента in- и out-onepa-торов между
вакуумным и одночастичным состоянием.
Пока что все напоминает формулы скалярной теории. Похожий вид имеют и
асимптотические условия, понимаемые, как обычно, в смысле слабой
операторной сходимости (16.20):
А (х, t) -> л/Z3 Aln (х, t) при /-" - оо,
F (16.147)
А(х, t)-*'VZzA0ul(x, t) при /-" + оо.
Лишь редукционная формула для фотонов немного отличается от выражения
(16.81) для скалярного поля
-^ffqi(Xi)(aXi + m2){ 0| ... ф (jc/) ... | 0)->
-*¦ Akt, Kt (*<) ? *. * <0 I -.. A (xt) ... | 0) =
= --j=r A\, a, (x{) ? <01 ... A" (xt) ... ! 0). (16.148)
Например, если фотон с квантовыми числами k'V "вытаскивается" из out-
состояния, (16.80) заменяется на
(у' (k'X') out | ф (jc) | a in) = (y out | ф (x) | a - (k'X') in) +
+ \ d*y (y out | T (Лц (у) ф (x)) I a in) ПУА\>, w (y), (16.149)
причем дополнительный по сравнению с (16.80) знак минус в (16.149) связан
с тем обстоятельством, что единичный вектор поляризации пространственно-
подобен:
е^е1* - - е • е - - 1.
Таким образом, потеря явной ковариантности при квантовании не приводит к
каким-либо новым трудностям при рассмотрении редукционной техники. В
следующей главе, анализируя член за членом в ряду теории возмущений, мы
установим, что 5-матрица в присутствии электромагнитных взаимодействий
градиентно-инвариантна, а потому в силу (16.70) также и лоренц-
инвариантна. В низших порядках по константе связи этот факт был проверен
явным вычислением (см. гл. 7 и 8). Здесь же мы укажем только, что
нормировочная константа Z3, равно как и остальные члены в уравнении
(16.146), градиентно-инвариантны.
Предвосхищая дальнейшее обсуждение, отметим важное свойство константы Z3,
которое отличает ее от соответствующих констант для заряженного
фермионного и бозонного полей и Z. В гл. 8 мы обнаружили, что если
собрать воедино различные поправки порядка е3 к вершинной функции, то
единственной ве-
§ 112] СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ ФОТОНОВ 175
личиной, зависящей от радиуса обрезания является Z3, константа
перенормировки волновой функции и заряда (е = д/^з ео)-Вскоре мы
убедимся, что Z3 из гл. 8 совпадает с Z3, обсуждавшейся в настоящей
главе. Таким образом, свойство градиентной инвариантности физического
заряда определяется градиентной инвариантностью Z3 в (16.146).
§ 112. Спектральное представление для фотонов
Продолжим наше сопоставление с теорией скалярного поля и рассмотрим
вакуумное среднее от коммутатора
ю'и (х, x'f ^ <0 | [А{ (х), Aj(x')] 10). (16.150)
Тот факт, что при квантовании максвелловского поля теряется
явная лоренцева инвариантность, приводит к некоторым трудностям.
Рассмотрим вначале матричный элемент
(0 | Ai (х) Ai (х') 10) = 2 e~iPn U_X,> <° I А' (°) I я> <я I Л / (0) 10)
=
П
= $ (ga0too)в-'*<*-*>,/to) (16.151)
и обычным образом определим спектральную амплитуду:
911 to) ^ I (0 I Ai (0) | п) to | А, (0) | 0) (2л)3 б (рп - q).
(16.152)
П
Выделив, как в (16.37), однофотонное состояние
(0 | А (х) | рХ) = УГ3 (01 А1п (х) | рХ), (16.153)
получим
Pij to) = Z36 to2) ? ег to, X) Bj to, X) + Лц to). (16.154)
A = 1
Второй член в (16.150) также можно выразить через (16.154), если
использовать ^С^-инвариантность электродинамики. При преобразовании 0 =
6 А(х)0~1 = -А(-х) и 010) = 10>.
Поэтому, записывая f = °UK, где К- оператор комплексного сопряжения,
получаем
(01 А, (х') A i (х) 10) = (КО | KAj (х') At (х) 0)* =
=(о | QAj (х') е~'елу (х) е-1 |0)* = <о | а, (- х)а, (- ОI о>.
(16,155)
176 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА [ГЛ. 16
В последней строчке этого равенства использовано тождество (Л|Б)* = (Б|Л)
и учтена эрмитовость поля А(х). Отсюда следует, что тензор pn(q)
симметричен относительно перестановки индексов; учитывая (16.152),
заключаем также, что рц - действительная функция
pu(q) = p/l(q) = ptu(q). (16.156)
Выражение (16.150), с учетом (16.151) и (16.154), приводится к виду
D'u (х - x'f = Z3Dii (х - x'f -
- i \ -^r 9 Ы (e~iq {-x~x') - eiq^x~x')) щ, (q), (16.157)
где
Dij(x - x'f =
= ~1 S W 6 Ы 6 iq2) = (e-l*(x-x,)-eiq (bt! - -ffl).
При выводе общего выражения для спектральной функции яi,(q) мы, следуя
Эвансу и Фултону [62], рассмотрим вначале градиентно-инвариантный
лоренцев тензор
jHV iq) = Е (о I /ц (0) \п)(п\ jv (0) I 0) (2я)3 64 (рп - q). (16 Л 58)
п
Операторы тока в (16.158), которые являются источниками электромагнитного
поля, удовлетворяют дифференциальному закону сохранения
<?/,. (*)
-ЖГ = ° (16-159)
и являются, таким образом, градиентно-инвариантными 4-векторами.
Например, для дираковского электрона
/'и (х) = ф (х) \цф (х) - (0 | ф (х) у".Ф (х) | 0). (16Л60)
