Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
отдельный член в этой сумме. Для этого следует выразить точное поле ф(я)
через асимптотические поля ф|П(я), свойства которых известны.
Фундаментальным предположением, на котором основывается вся теория
возмущений, является предположение о том, что спектр точных состояний
находится во взаимно однозначном соответствии со спектром невозмущенных
состояний. В частности, предполагается, что для каждого поля ф(х) в
лагранжиане существует свое in-поле ф1П(*). Аналогичное условие имеет
место и
§ П5]
U-МАТРИЦА
183
в нерелятивистской потенциальной теории: борновский ряд для амплитуды
рассеяния может расходиться, если в потенциале имеется связанное
состояние.
Представляется весьма сомнительным, чтобы теория возмущений была
применима в теории сильных взаимодействий. Если быть оптимистом, то можно
предположить, что ряд теории возмущений сходится в квантовой
электродинамике, поскольку в этом случае параметр разложения а = Vi37-
Напомним, что в гл. 7, 8 мы обнаружили впечатляющее количественное
согласие с экспериментом уже первых приближений теории возмущений в
электродинамике. Применимость же теории возмущений к слабым
взаимодействиям остается в настоящее время весьма проблематичной.
Исходным пунктом, для разложения полевых операторов в терминах in-полей,
являются интегральные уравнения вида (16.14), (16.84) и (16.146), в
которых оператор тока j(x) следует выразить через in-поля. Указанная
процедура не приводит, однако, непосредственно к фейнмановским диаграммам
[64], поскольку вместо Дд(х) при этом появляется функция Aret(x). Поэтому
для вывода фейнмановских правил непосредственно из теории поля мы, следуя
Дайсону [65, 66], сформулируем теорию возмущении, основанную на
формализме П-матрицы.
§ 115. Н-матрица
Одновременные перестановочные соотношения для взаимодействующих полей
ф(*Д) и сопряженных импульсов я (х, t) совпадают1) с соответствующими
величинами для in-полей2) ФтОМ) и Ят(*, 0- In-поля образуют полный
операторный набор, поскольку, согласно нашему предположению,
последовательным действием на вакуум операторами ф или фщ можно построить
полный набор состояний. Если предположить далее, что поля ф и ф1п
находятся во взаимно однозначном соответствии, то связь между ними
выражается3) с помощью унитарного
Ч Мы не рассматриваем здесь случай связей с производными. Примером таких
теорий являются взаимодействия заряженного бозона или векторной частицы с
электромагнитным полем. Обсуждение теории возмущений в этом случае см. в
[67-69].
2) Здесь ф(х) означает бозонное или фермионное поле. Специфические
свойства поля, такие, как спин и изоспин, не играют сколько-нибудь
существенную роль в нашем рассмотрении.
3) Хотя это утверждение представляет известную теорему обычной квантовой
механики, ее нельзя доказать для систем с бесконечным числом степеней
свободы (см. [70, 71] и задачу 2 этой главы). Здесь мы просто предположим
существование оператора U(t).
184 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ [ГЛ. 17
оператора1) U(t):
ф(ж, t) = U~l (0 ф|п(*, О и (/), (17.1)
я (ж, t) = U~x{t)nXn{x, t)U(t). (17.2)
Поскольку уравнения движения для ф(дг) и ф!П(*) известны, нетрудно
получить уравнение, описывающее изменение оператора U(t) во времени. Это
уравнение следует, в частности, из перестановочных соотношений, которым
удовлетворяют in-поля:
frPmW ,гн , \ -1
dt С in (ф(п' Ят)' 'Pin]'
-J3p-=4H,n(vu.
Здесь //т(ф1п, яш) - гамильтониан свободных полей, содержащий физическую
массу т. Для точных гейзенберговских полей трансляционная инвариантность
означает, что
^1 = ЦН( ф,я),ф(ж)] (17.4)
и
-д\- = i [Н (ф. л)> л (дс)]. (17.5)
Поэтому
Фш W = -§t U (r) ф ^ U~] № =
= [Й (t)U~l(t), ф1п(*)]+ /[Я(Ф1п, я1п), ф1П М] =
= Фш (*) + [йи~1 + iHi (фщ. яы)' Фш (*)] (17-6)
и
(*) = Лш (*) + [VV~l + iH, (ф1п, я1п), я1п (дс)],
где
Н1 (Фщ. ят) = Н (фщ. яш) - Ны (фщ. яы) 33 н, (0 (17.7)
есть гамильтониан взаимодействия, выраженный через in-поля.
В (17.7) мы явно выписали зависимость гамильтониана от вре-
') Оператор V может быть ковариантно определен на произвольной
пространственноподобной поверхности, что не приводит, однако, к каким-
либо преимуществам (см. [72, 73]).
S IIS]
Н-МАТРИЦА
185
мени t. Напомним, что Hi(t) содержит массовый контрчлен (см. гл. 7) ').
Из (17.6) получаем
/i/(/)f/-1(0 = //y(0 + ?o(0,
где E0(t) коммутирует с q>in(*> 0 и тещ (дс, t) и является, таким
образом, с-числом. Определив
Решение этого уравнения в терминах in-полей представляет основу для
разложения в ряд теории возмущений. С помощью оператора U можно выразить
вакуумное среднее от произведения полевых амплитуд, через которые
выражаются S-матричные элементы, в виде бесконечного ряда, содержащего
in-поля. Последние же могут быть вычислены в явном виде, поскольку
свойства свободных полей нам известны.
Продолжим рассмотрение и выпишем итерационный ряд для
(17.8). При этом нужно задать начальное условие, которое удобно ввести с
помощью оператора
который также есть решение для (17.8). При t = f U(t,t') равен единичному
