Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда получаем уравнение для Z2:
оо
1=Z2 + $<Ш2р,(М2) (16.124)
1) Напомним используемое обозначение: и(-р, s) = и(р0- --р, s).
168
ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРЙЦА
[171. 18
или, с учетом (16.113),
0<Z2<1 (16.125)
в полной аналогии с (16.34).
При выводе неравенства (16.125) для вероятности образования дираковской
частицы из вакуума использовалось только свойство лоренцевой
инвариантности. Как известно, в том случае, когда теория содержит
электромагнитную связь, каждое ло-ренцево преобразование следует
дополнить соответствующим градиентным преобразованием. Поскольку функция
5'(л:- х') не градиентно-инвариантна, условие (16.125) не выполняется в
квантовой электродинамике; при этом Z% зависит от калибровки и не имеет
простой физической интерпретации.
§ 110. Редукционная формула для дираковских полей
В § 108 мы использовали общие свойства 5-матрицы для вывода редукционной
формулы в случае скалярных полей. Обобщение на случай матричных элементов
между дираковскими частицами требует лишь небольших технических
усложнений.
Из выражений (16.88), (16.90) и (16.121) видно, что п-частичное in- (или
out-) состояние может быть, как и в случае свободного поля Дирака,
получено последовательным применением операторов
Kn (Р> s) = J < W uPs М rf3*> <(р, s)=\v+(x) 4>in (x) d3x.
(16.126)
Например, произвольное in-состояние может быть записано в виде
\(pkh) ••• (PiSi); (P/S/) ... (pisO; qt ... qn in) =
==dtWn) ••• dtn(Pl> ••• ^(p,s,)X
Xa+(qi)...a+(qn) | 0). (16.127)
Квантовые числа этого состояния записаны в порядке, который при чтении
справа налево в точности соответствует последовательности, в которой
частицы рождаются из вакуума, при этом частицы (p/Sj) предшествуют
античастицам (p,s(). Указанное соглашение фиксирует фазу состояний и
помогает разобраться в кухне, связанной с алгеброй антикоммутаторов в
случае фер-миинных полей.
Как обычно в редукционной процедуре, мы извлекаем сначала дираковскую
частицу из in-состояния и заменяем ее матричным элементом
соответствующего полевого оператора. Для
§ 110) РЕДУКЦИОННАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ДИРАКОВСКИХ ПОЛЕЙ 169
этого повторим выкладки, которые мы проделали в (16.73),
(16.74). Используя асимптотическое условие в форме (16.91) и (16.94),
получим
(Р out | (ps), a in) = (р - (ps) out | a in) +
+ <р out | bt (ps) - boui (ps) | a in) = (P - (ps) out | a in) +
+ ^ d3x (P out | [ф+ (*) - ф+4 (x)] | a in) Ups (x) =
= (P - (ps) out | a in) -
1 J d4x (p out | -JL (ф (x) y°Ups (x) |a in). (16.128)
Vz
Поскольку Ups(x) есть решение свободного уравнения Дирака, подставим
Y0 Ups (*) = (- Y ¦ V - im) Ups (х)
и проинтегрируем по частям член с -В результате второй член в правой
части (16.128) приобретает вид
^ d*x (Р out | ф (х) | a in) (- iV - т) Ups (л:). (16.129)
yZi J
В том случае, когда in-состояние содержит не частицу, а античастицу,
имеем
j=^d4xVp-s(W ~т)(рout |ф(х) lain). (16.130)
V Z2
Для out-состояний при извлечении из обкладок частицы и античастицы
получаем соответственно
--d=- ^ d^xUp's' (x)(iV-- m) (р out | ф (я) | a in), (16.131) -l- ( d4x
(p out I ф (л:) I a in) (- /V - m) Vp>?(x). (16.132)
<\! 2, 2 *
Отметим, что выражение (16.129) для амплитуды, описывающей взаимодействие
электрона с квантовыми числами ps в начальном in-состоянии, и выражение
(16.132) для амплитуды, описывающей взаимодействие позитрона p's' в
конечном out-co-стоянии, тесно связаны друг с другом: одно получается из
другого заменой Up, (х) на - VP's'(x), т. е. и(р, s)e~ipx на - v(p',s')
e~i{~p')x. Это обстоятельство, которое является теоретико-полевой
формулировкой нашего старого результата, полученного в гл. 6 при
обсуждении метода функций распространения, позволяет нам рассматривать
позитрон как электрон с отрицательной энергией, движущиеся назад во
времени. Аналогии-
170 ВАКУУМНЫЕ СРЕДНИЕ И S-МАТРИЦА [ГЛ. 16
ная связь имеет место между амплитудами (16.130) и (16.131), отвечающими
электрону в конечном и позитрону в начальном состояниях.
Мы можем продолжить редукционную процедуру до тех пор, пока не извлечем
все частицы из in- или out-состояний. В результате мы получим вакуумное
среднее от хронологически-упорядоченного произведения полей. Рассмотрим,
например, случай, когда in-состояние содержит дираковскую частицу, а сам
матричный элемент вычисляется от произведения скалярных и спинорных
полей. Имеем
<Р out | Г (лч, ..., zp)0 о |(ps)ain) =
1 " Гр
= (pOUt I Т (ф (Xj) . . . <Р (х") Фа , Ы . . . %m(ym)X
X Фр, (2,) . . . ф6р (zp) I (PS) а in> =
r= (- l)m+p <P - (ps) out | T (xj ... ze)ei...Bp lain) +
"I- (P out | T (x\ . . . Zp)ai ...$pbtn(p, s)|ain> -
- (P out | (- i)m+p biui (p, s)T (xi . . . zp)a^ вр I a in), (16.133)
где знак (-l)m+p определяется числом перестановок фермион-ных полей (см.
(13.71)), как это следует из определения хронологического произведения
фермионных полей:
т (фа (х) Фр (у)) = Фа (х) фр (у) 9 (х0 - У о) ~ Фр (у) Фа М 9 (Уо ~ Х0).
Во втором члене используем асимптотическое условие; тогда, повторяя
