Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
вершине.
196
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 17
Таким образом, мы получаем соответствие между отдельными членами в
разложении т-функции и фейнмановскими графиками. Для того чтобы прийти к
фейнмановским правилам, остается только решить простую комбинаторную
задачу и выяснить, сколько раз каждая диаграмма входит в разложение
Дайсона - Вика (различаясь при этом только нумерацией вершин). Например,
для диаграмм, отвечающих (17.35), имеется 3! перестановок вершин г/ь у2,
уъ, при этом каждый график, отличающийся только перестановкой аргументов,
дает один и тот
хз
х4
р
V
у -к.
:Ьо'-т
4-
Рис. 17.3. Вершины для мезон-мезон-ного рассеяния и массового контр-
члека.
\%/
/\0 Уз/ Уг\-'
х9
Рис. 17.4. Собственно-энергетическая диаграмма с "головастиком", не
содержащаяся в уравнении 17.35.
же вклад в т. В общем случае существует т\ диаграмм, отличающихся
перестановкой вершин у\, ..., ут, причем возникающий отсюда ml
сокращается с 1/т! в (17.22). Точно так же для диаграмм, указанных на
рис. 17.2, имеется 4! перестановок полей в 4-лучевой вершине '/До ' Tin:
и 2! перестановок в 2-луче-вой вершине - '/г^Р2 • ф2": • Общее правило
гласит: если взаимодействие содержит оператор поля в степени г,
соответствующая диаграмма умножается на г\.
§ 119. Вакуумные амплитуды
На рис. 17.5 показаны некоторые диаграммы, возникающие при разложении
знаменателя в (17.22). Точно такие же диаграммы содержатся и в разложении
числителя (см. рис. 17.2,в), Как мы увидим, вклад вакуумных петель в
числителе и знаменателе сокращается и выпадает из полного ответа.
Графики, связанные с числителем, отличаются от графиков, связанных со
знаменателем, тем, что они обладают внешними концами. Эти внешние линии
отвечают операторам <j>in(*i) ...
5 119]
ВАКУУМНЫЕ АМПЛИТУДЫ
197
... фшОсп), которые содержатся в t(xi хп). Назовем совокупность графиков,
не связанных с внешними концами диаграммы несвязанной частью. Графики, не
содержащие несвязанной части, назовем связанными. Каждый график в
числителе, может быть отнесен либо к связанной, либо к несвязанной части.
Рис. 17.5. Вакуумные петли.
Точно так же на две части разбивается и аналитическое выражение для
функции т.
Суммарный вклад связанных графиков s-ro порядка в числитель функции т
равен
Р"0
X (о I т (ф," (*,)... Ф," (*") Ж, (у,) ...Ж, (у,)) | О), х
У д,Д.), ("|Г(Ж,... ",<!,"))|0>, (17.36)
где значок с означает, что вакуумное среднее вычисляется только от
связанной части. Комбинаторный множитель -
= pL
V s / s! (р - 5)!
Означает число способов, которым можно извлечь 5 множителей
198 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ [ГЛ. 17
из полного числа р множителей 5$/. Выражение (17.36) можно переписать в
виде
... d*ysX
X (О I ^(?in(^i) • • • 9|n(Xn) ^I (#l) • 1 * ЯМ) I 0)e X
°o
X ? J d% ... d% <0 | T (Ж, (z.) ...Ж, (zr)) 10). (17.37)
/•=0
Это выражение имеет вид связанной амплитуды s-ro порядка, умноженной на
бесконечную сумму вакуумных петель, изображенную на рис. 17.5. Последняя
в точности сокращает знаменатель в (17.22). Таким образом,
2 (xi хп) 2 (х\.....Хп) 2 Dk
' 1*>, " J ?0, =•
к к
= ^ (17-38> / 1 G; (хи "¦ • > хге),
г
где G? - вклад связанных, a D* - несвязанных диаграмм. Другими словами,
при вычислении т-функции несвязанные графики выпадают из ответа, и
последняя сводится к сумме всех связанных фейнмановских диаграмм.
§ 120. Спин и изотопический спин; я-мезон-нуклонное рассеяние
В большинстве вычислений, представляющих физический интерес, мы
рассматриваем гамильтонианы, содержащие поля со спином и изотопическим
спином. Примером является я-мезон-нуклонное взаимодействие, рассмотренное
в гл. 15:
= g: -фгу5т ¦ ФФ • - */2 6pi2: ф • ф : - SM : фф:. (17.39)
"
В (17.39) явно выписан массовый контрчлен. Для того чтобы разобраться в
кухне индексов, рассмотрим вклад графиков первого отличного от нуля
порядка. Соответствующее выражение
(16.39) для я-мезон-нуклонного рассеяния содержит
<01Т (ф (z2)ar ф (zj)^ фг (jci) ф/ (х2)) | 0), (17.40)
где индексы а, 0 и г, s означают соответственно спин и изотопический спин
нуклонов, а (i, j) - изотопические индексы
120]
СПИН И ИЗОТОПИЧЕСКИЙ спин
19§
я-мезонов. В первом неисчезающем порядке получаем
Ti/, ct(5, rs C*l> xv ZV Z'l) ~ 2Г ^ d*y2 X
X (0 I т 0'a"r (z2) Ф& (z,) q>*" (*,) <p>" (x2) Ж1 (у,) (y2)) 10),
(17.41)
где индекс с снова указывает на то, что рассматриваются толь* ко
связанные диаграммы, а диаграммы, изображенные на рис. 17.6, не
учитываются.
Массовые контрчлены в
(17.39) порядка g2, поэтому при вычислениях с точностью g2 каждый из
них должен учитываться только один раз. Эти контрчлены модифицируют
диаграммы собственной энергии (рис. 17.7).
В гл. 8 мы уже обсуждали диаграммы собственной энергии в связи с
вычислением радиационных поправок к рассеянию электронов. Учет
контрчленов в диаграммах рис. 17.8 приводит к тому, что физические
частицы имеют (с точностью g2) наблюдаемую массу. Ниже мы рассмотрим
рассеяние на угол, не
?
1
1
J
1
3
3
а
