Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
V777/
б)
Рис. 17.16. Произвольная диаграмма, содержащая обмен поперечным фотоном
(а), мгновенное кулоновское взаимодействие (б).
друг с другом. Кроме того, имеется 2т топологически эквивалентных
графиков, полученных перестановкой пар аргументов Zi и zi, в результате
сокращаются множители '/г в Я/ул.
Таким образом, статистический вес каждого топологически неэквивалентного
графика равен единице. Любой диаграмме, содержащей обмен поперечным
фотоном (рис. 17.16, а), можно сопоставить диаграмму с тем же самым
статистическим весом, отвечающую мгновенному кулоновскому взаимодействию
(рис. 17.16,6). Используя (17.68) и (17.17), найдем вклад этих диаграмм в
т-функцию. Для поперечных фотонов этот вклад равен
) tfx d'x' (- teoYn) [ + 1^df (х ~ х') - '&4n ~Х - х' I* ] fe°Vv).
(17.71)
§ 1231
ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ
211
а для кулоновских сил
- 1е\ \ Yv (17.72)
Таким образом, кулоновское взаимодействие сокращает неприятный член в
правой части (17.71), в результате мы приходим к ковариантному фотонному
пропагатору.
§ 123. Излучение мягких фотонов и инфракрасная катастрофа
Мы завершим эту главу рассмотрением взаимодействия поля излучения с
классическим распределением токов. Эта интересная с физической точки
зрения задача допускает точное решение. Вычислим, в частности, число
испускаемых фотонов и их распределение по частоте. С этой целью мы явно
построим оператор 5 и проведем вычисление интересующих нас матричных
элементов.
В калибровке излучения уравнение для поля имеет вид ')
? Л (*) = /(*), (17.73)
где j(х) - заданная с-числовая функция, причем
V-/(*)== 0. (17.74)
Перепишем (17.73) в интегральной форме:
А (х) = Ain (х) -f d*y Dret (x -у) j (у) =
= Aoui (x) + J d*y Dadv (x - y) j (y), (17.75)
где положено Z3 = 1, поскольку A, Ain и Aout отличаются только на с-число
и удовлетворяют одним и тем же перестановочным соотношениям. Согласно
(16.66), 5-матрица удовлетворяет соотношению
5_1Л.1П (х) 5 = A0Ui (х) (17.76)
или
S-'Aln (х) S = Л,п (х) +\d*yD(x- у) / (у), (17.77)
где
- D (Z) = Dadv (Z)-Dret (Z) = -/ \e~^6 (k2) в (k0) (17.78)
(см. приложение В).
*) Величина заряда включена в определение тока /.
212 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. 1?
Удобно перейти в импульсное пространство, разложив /'(г/) в интеграл
Фурье:
г г 2
/(</) = J ? е (k, к) [/ (k, к) + Г (К к) е**\, (17.79)
О Я U) ^ = ,
тогда (17.77) приобретает вид
<>", <*-, Ч = S-'au (4, ч S = (4,4 +
(17.80)
S'Vn (k, к) S = at (k, к) - 11 , ?2 = 0.
\2 | ft |
Уравнение (17.80) можно решить в явном виде, поскольку поля aln(k,k) под
действием оператора 5 смещаются лишь на с-число. С этой целью используем
тождество
евАе-в = а + 1В, А], (17.81)
справедливое в том случае, когда коммутатор [В, А] есть с-число.
Выражение (17.81) наводит на мысль, что В следует выбрать в виде линейной
комбинации операторов ain и а?а- Условие унитарности позволяет записать
следующее общее выражение для оператора S:
S = expji \с13к?р(1г, k)a+(k, Я)+f(?, к)а1п(к, Я)]|. (17.82) Подставив
(17.82) в (17.80), получим
(17-83)
Для вычисления матричных элементов между in-состояниями удобно
представить S-матрицу в нормальной форме. При этом оказывается полезной
следующая теорема.
Теорема.
Если [Л, В] = С есть с-число, то
еА+в = еАеве~'!* вк (17.84)
Доказательство.
Определим
F (Я) ~ ^(.л+в)е-\ве-\Аш
Тогда
-^- = еМА+в)[А> е-ы?]е-м
§ 123) ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ 213
Непосредственно из (17.81) следует, что
[А, е~^в] - - kCe~hB и ^^- = -kCF{k).
Поскольку /7(0)=1, F (к) является с-числом, в частности
F(i) = e-4,C'
Применяя эту теорему, получаем
s=ехр [' S тйт ?; {k> х) а^п {к> л)]х
Г - 2 _
X exp J / J S Г (К к) aln (k, к) I X
Г г 2 Т
Xexp^-j к)\2\. (17.85)
Теперь мы можем вычислить вероятность Рп процесса, в котором при
взаимодействии с током испускается п фотонов с заданными импульсами и
поляризацией:
Рп (&, ки кп)= Е | (kiki ... knkn out | 0 in) |2 =
В 3?
= E \{kxki ... ^"in|S|0in>|2, (17.86)
kf в X
где 31-некоторая область в Зп-мерном фазовом пространстве. Обращаясь к
(17.85), мы замечаем, что вклад в S дает только член, содержащий п
операторов рождения и не содержащий операторов уничтожения вовсе. Поэтому
wE1'<*¦*>!']} X
X ? I (kiki ... кпкп inl-Jx
в Я
Г 2 . П
х (j 2 / (к, к) а+ (к, к)) I о in) |2. (17.87)
Если мы интересуемся вероятностью испускания фотонов с произвольной
поляризацией в заданный интервал импульсов R
Рп {31, кх ... кп) = J ехр - \
214
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. 17
(т. е. k\ еУ?, kn^R), то выражение (17.87) можно упростить. Запишем
сначала:
2
Рп(Я) = Ро? ? ... *A,in|X
^ = 1 kt в R
[2 п.
S vffir 2' <4-4 ""<*•410 in> (17-88>
R А = 1 _1
где
Г г 2 -|
Р0 = ехр| ?l/(*. Я) |21 (17.89)
есть вероятность того, что не испускается ни один фотон1). Поскольку
интеграл в (17.88) вычисляется по ограниченной области R, внешнее
суммирование может быть формально выполнено по всем ki\ при этом
очевидно, Pn(R) не изменится. В результате получим
[{* ^ ""1 ^
\-m?r2>!{k'k)<{k' Ч |0in>i2=::
