Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
C(t) = elHtCQe-iHt, (15.100)
где Со удовлетворяет условию (15.97) в момент времени ? = 0 и имеет вид
(15.99), причем под а+, а нужно понимать коэффициенты взаимодействующего
фотонного поля при t = 0. В теории свободного поля вакуумное состояние
|0> не вырождено, поэтому оно является собственным состоянием оператора
симметрии О. Будем считать, что вакуум есть не только четное (см.
(15.76)), но и зарядово-четное собственное состояние:
с | 0) = + | 0). (15.101)
Тогда, с учетом (15.97), собственное значение оператора С. для n-
фотонного состояния равно (-1)". В дальнейшем будем называть собственные
значения оператора С. зарядовой четностью состояния. В случае, когда в
лагранжиане присутствуют члены со взаимодействием, мы по-прежнему будем
считать вакуум невырожденным и зарядово-четным.
Зарядовую четность я°-мезона можно определить из самого факта
существования распада я°->2'у. Если сильные и электромагнитные
взаимодействия инвариантны под действием оператора С, то я°-мезон должен
быть зарядово-четным, поскольку он связан с зарядово-четным состоянием
двух фотонов.
Перейдем далее к заряженным я-мезонам. Рассмотрим поля Ф и ф*, которые
рождают отрицательно и положительно заряженные частицы. Поскольку при
замене ф<^ф* имеем 3?(х)-+ (х) и /р. (х) -* - (х), то оператор С с
точностью до произ-
вольной фазы должен удовлетворять соотношениям
Сф (х) С-1 = ф* (х), Сф*(х)С 1 = ф {х). (15.102)
125 ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЯ [ГЛ. 15
В терминах операторов рождения и уничтожения я+- и я_-мезо-нов (12.57),
эти соотношения имеют вид
CaX(k)C~l = a±(k), Cat (fc) С-1 = 4 (6). (15.103)
Переходя к эрмитовым полям ф! и ф2, получаем
Сф1 (х) С-1 = ф! (*), Сф2 {х) С-1 = - ф2 (х), (15.104)
или
Coi (k) С-1 =at (k), Ca2(k) С-1 = - a2{k). (15.105)
Эти соотношения показывают, что С, имеет смысл оператора
отражения в (1,3)-плоскости изоспинового пространства. Отсюда следует,
что собственные векторы оператора С, должны содержать равное число я+- и
я_-мезонов и, следовательно, должны быть электрически нейтральными.
Формально это следует из соотношения
CQ = - QC. (15.106)
При построении явного вида оператора зарядового сопряжения следует
помнить, что .Q не коммутирует только с фг. Поэтому
С = ехр ?гя ^ d3k a+ (k) а2 (Л)]. (15.107)
В том случае, когда С. не является константой движения он определяется
формальным выражением (15.100).
Аналогичное рассмотрение применимо и к К-мезонам. Все сказанное выше
непосредственно относится к К+- и К_-полям. Поскольку для К+-мезонов QK+
= SK+ = Ук+ (см. (15.64), (15.66), (15.68)), то из (15.105) следует, что
С. антикоммутирует с S и У. Кроме того, под действием оператора С.
состояния К0 и К0 должны переходить друг в друга. В этом смысле система
К°К° аналогична системе К+К", единственная разница заключается в том, что
заряд Q теперь равен нулю. Что же касается операторов S и У, то они по-
прежнему антикоммутируют с G. Поскольку операторы ф^" и ф^" рождают К0- и
К°-мезоны, которые есть собственные векторы оператора странности, эрмито-
вые линейные комбинации ')
Фк.^-^ОРк'-Фк")- <Рк,=э'7Г((Рк* + (Р*к*) С15-108)
по аналогии с ф1 и ф2 в (15.104) рождают соответственно зарядово-четные и
зарядово-нечетные состояния. Эти состояния иг-
') Известно, что К0 имеет отрицательную внутреннюю четность. Поэтому
согласно (15.108), состояние Ki четно относительно комбинированной
операции С&, а состояние Kq нечетно.
§ 99] ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ 123
рают важную роль в теории слабых распадов нейтральных К-мезонов ').
Зарядовое сопряжение для дираковской частицы уже обсуждалось в первом
томе. Напомним, что свободное уравнение Дирака инвариантно при замене
г|) (х) -> Сфг (л:), (15.109)
где С - 4 X 4 матрица, удовлетворяющая условиям
или СЛС-' = -у?, (15.110)
В уравнении (5.6) мы выбрали эту матрицу в виде
С = гу2у° = - С-1 = - С+ =.- Ст (15.111)
в представлении, где у0 = у(r) теории поля мы ищем унитарный оператор С,
генерирующий преобразование (15.109):
Сф" (л) С'1 = Сл% (л) = (CV")4 4>е+ (л)
и
4WC-' = -"fWCj (15.112)
где матрица С по-прежнему определяется соотношениями (15.110), (15.111) с
точностью до несущественного фазового множителя. Порядок матриц в
(15.112) явно указан индексами, и его нужно тщательно придерживаться.
Легко проверить, что при С-преобразовании перестановочные соотношения
(13.53) и (13.54), а также уравнение Дирака остаются инвариантными. Что
же касается плотности лагранжиана 9? в (13.42), то она изменяется только
на несущественную полную дивергенцию.
Подействуем далее оператором G на фМуцфСх); при этом получим
Сф (х) уЧ (х) С-1 = - фа (х) С^уЦяСЯтфт (х) = Фа (х) (х).
(15.113)
В § 92 мы отмечали, однако, что отождествление величины ф(х)Ур.ф(я) с
электромагнитным током приводит к ряду трудностей и что поэтому для тока
следует использовать выражение, антисимметризованное по фермионным полям,
или, что эквивалентно, выражение с нормальным порядком операторных
множителей. Если
/ц W ='/г [Ф W. УцФ W1.
