Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 39

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 138 >> Следующая

которой внешнее поле, приготавливающее и анализирующее ее состояния,
равно
(х) = (Alt (- *, t), - Лехt (- *, 0) = Л"1 (- *, t), (15.70)
то, если четность сохраняется, динамическое поведение новой
системы будет таким же, как и у исходной системы. В частно-
сти, если действие новой системы
l=\<tx[2~h (x)Al t (*)]
связано с действием исходной системы / унитарным преобразованием то
уравнения движения не изменятся. Потребуем, чтобы оператор 5s
удовлетворял следующим соотношениям:
0>&(х, t) &-1 = 2? (-х, t), (15.71)
()$>-' = Г (-х, I), (15.72)
116
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ИОЛЙ
[ГЛ. 15
и чтобы 3 не менял перестановочные соотношения. В этом случае динамика
новой и исходной квантовых систем одинакова, и мы говорим, что четность
сохраняется.
Рассмотрим вначале теорию свободного поля и построим оператор 3 в явном
виде. В случае поля Клейна - Гордона (см. (12.2), (12.4) и (12.63))
равенство (15.71) выполняется, если оператор 3 удовлетворяет условию
3>(р (х, t)SP~x = ± ф (- х, /). (15.73)
При этом, очевидно, не меняются и коммутационные соотношения.
Выбор знака в (15.73) определяется тем, что называется "внутренней
четностью" частицы, связанной с полем; знак плюс выбирается для скалярных
частиц, знак минус для псевдоскалярных (например, для я-мезонов в
лагранжиане (15.30)). Этот знак определяет фазу одночастичного состояния
ф (х) 10) (15.74)
и может быть однозначно определен только при рассмотрении всевозможных
связей между различными частицами1). Внутренняя четность отличается от
пространственной четности, связанной с четностью волновой функции частицы
в состоянии с данным орбитальным моментом. Обозначим одночастичное
состояние с угловым моментом I через |"=1;/>, а соответствующую волновую
функцию через SFi(x), тогда
дг^х, t) = {n- 1; 11 ф (х, /)|0> =
= (-!)'<"= 1; Лф(-дг, ()\0)=(-1)'(Г1(-х, t). (15.75)
Это равенство по существу содержит лишь утверждение о четности или
нечетности функции @~i{x). С другой стороны, четность состояния |я=1;/>
по отношению к вакууму, четность которого по определению положительна:
^|0) = |0), (15.76)
можно определить, рассмотрев следующую цепочку равенств: <п = 1;
1\$><р(х, 010) = <га = 1; l\3>q>(x, t)iP~l\0> =
= ±<"=1; /|ф(-лг, /)| 0)= ± (-l/^i(x, t). (15.77)
Мы видим, что эта четность равна произведению внутренней четности ±1 и
орбитальной четности (-1)'. Например, псевдоскалярный я-мезон в p-
состоянии имеет положительную четность.
') В (15.73) можно добавить произвольную фазу е1ф, для нашего
рассмотрения это несущественно.
§ 98] ЧЕТНОСТЬ 117
Перейдем в (15.73) к разложению в импульсном пространстве (см. (12.7) или
(12.57)), тогда получим1)
tPa (k) = ± а (- k), &>a+(k)?-' = ±a+(-k). (15.78)
Действуя на состояние с заданным импульсом, оператор & образует новое
состояние, в котором импульсы ku ..., kn заменяются на -ki, ..., -kn, а
все остальные квантовые числа - заряд, число частиц и т. д. не меняются.
Уравнения (15.73) или (15.78) для оператора & проще всего решить в
импульсном пространстве. Положив
& - eiP, (15.79)
перепишем (15.78) в виде
&а (k) = a (k) + i [Р, a {k)] + [Р, [Р, а (6)]] + ...
... +-?-[Р, [Р, a{k)}\ ...] + ... =-а(-6). (15.80)
Для определенности рассмотрим псевдоскалярное поле и в правой части
(15.80) выберем знак минус. Тогда
[Р, а(к)] = ±[а(к)±а(-к)], (15.81)
причем величину X и знак плюс или минус в уравнении еще следует
определить. Имеем, далее,
[Р, [P,a(k)]} = ±-X*[a(k)±a(- к)] и, в силу (15.80),
= 0(Л) + ±[я,+ ^+ ... + -^ + ..'.][a(k)±a(-k)] = = y [a {k) =F а (- k)\ -
f- -~^а [а (k) ± а (- k)\. (15.82)
Выбрав в (15.81) знак плюс и положив А = я, получим2)
PPs = - т \ d*k [а+ (k) a (k) + а+ (к) а (- k)\ = Р+
и
^ps = exp| - -у- ^ d3k [а+ (k)a(k) + a+(k)a{- k)\ j. (15.83)
*) Замена k -k в аргументе операторов рождения и уничтожения относится
только к пространственным компонентам импульса.
2) См. [45]. Отметим, что в координатном пространстве операторы Рн?
являются нелокальными, как и должно быть для преобразований, переводящих
частицу из точки ж в точку -ж.
118
Взаимодействующие поля
1ТЛ. IS
Для скалярного поля (в этом случае в правой части формулы (15.80) нужно
взять знак плюс) имеем
&s = ехр |-y ^ d3k [а+ (k) а (k) - а+ (k) а (- k)] j. (15.84)
Унитарность оператора 5s гарантируется эрмитовостью Р в (15.83) и
(15.84), а соглашение (15.76) о четности вакуума обеспечивается
нормальным порядком операторных множителей в Р.
Аналогичным образом можно построить оператор <?, удовлетворяющий условию
(15.73), и для взаимодействующих полей. При этом, если выполняются
соотношения (15.71) и (15.72), т. е. если & как оператор симметрии
коммутирует с гамильтонианом
[&, Н] = 0, (15.85)
то четность & является константой движения.
Чтобы построить общий вид оператора построим вначале оператор !?о,
удовлетворяющий (15.73) в момент времени t - 0. Оператор ?Pq строится так
же, как и в теории свободных полей, поскольку при t = 0 коэффициенты
разложения взаимодействующих полей удовлетворяют алгебре коммутаторов
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed