Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 45

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 138 >> Следующая

Эйнштейна, а дираковское поле должно квантоваться с антикоммутаторами,
что приводит к принципу запрета.
Сформулированное утверждение составляет содержание
^-теоремы, доказанной Людерсом и Зумино, Паули и Швин-гёром [50]. В этом
параграфе мы докажем эту теорему для
§ 101]
f CtT*-ТЕОРЕМА
133
взаимодействующих полей Клейна - Гордона, Максвелла и Дирака. Конкретно
мы покажем, что при последовательном применении операторов ?(t), ?.(t) и
t), взятых в один и тот же момент времени t, гамильтониан Н удовлетворяет
условию
/ЯГ'С_^_1 = Я. (15.148)
Поскольку наши исходные предположения относятся к свойствам лагранжевой
плотности, удобно проводить все рассуждения именно для 3S и лишь в конце
доказательства вернуться к гамильтониану. Итак, покажем вначале, что
fS{x, = -t),
где все операторы вычисляются в момент времени t.
Лоренцева инвариантность лагранжевой плотности означает, что & является
эрмитовым оператором, который содержит скаляры, построенные из полей
фДх), их производных д/дх^
и билинейных форм фдГфв спинорных полей или их производных,
преобразующихся как тензоры. Индексы А к В относятся к различным
фермионным полям (р, е~, v и т. д.), а Г - одна из шестнадцати линейно
независимых матриц Дирака: I, iy$, у^, У57ц>
При действии оператора &?# на скалярное эрмитово поле фг получаем
9>Cf<fT(x, = -t), (15.149)
где знак плюс или минус определяется выбором знака в (15.132).
В терминах операторов, образующих состояния с определенным зарядом,
уравнение (15.149) имеет вид
&С?ч(х, t)f~lС-У~1 = ±ф*(-*) -0,
&Cftf(x, = -t).
Для спинорных полей, используя уравнения (15.88), (15.112) и (15.133),
получаем
О/"'0_1 =
= - i (у у5)ар Фе ( х> 0 = + г7арФр (- х> - 0
и
PCftfix, t)rlC-lp-l*=-wS(-x, -i)(Y5Y0)3a- (15.150)
Отсюда можно найти правила преобразования для билинейных форм спинорных
полей
= - фд (- *, - 0 (Y5Yor*YoY5)xt ф? (- Дс, - о =
= _фЛ(_л> -0, (15.151)
134
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. 15
где
Г = Г для Г= 1, гу5. <*,"*
Г' = -Г для Г = уц, YsYn-
Вспомнив, что различные фермиевские поля ф-4 и анти-коммутируют друг с
другом и что 3? представляет нормальное произведение спинорных полей,
приходим к следующему результату:
&Cf : ^ (X, t) ТаХ (*, о : /"'С-V-' =
-h : (- лс, -0Г^(-*, - 0:. (15.152)
Отметим, что при переходе от (15.151) к (15.152) наше соглашение о
нормальной форме операторов существенно только для случая векторной связи
Г = у11 и одинаковых спинорных полей А - В, поскольку в остальных
случаях в силу (15.39)
- Фх (~ *> ~ 0 (- х, -t) =
= + ф? (- *, - о г;^ (- х, -0 - Ьт& (0) Sp (Y0r')-
Напомним, однако, что при рассмотрении дискретных преобразований
необходимо знать именно свойства векторного тока (см. (15.72), (15.96) и
(15.123)). При комбинированном действии С: и f имеем
(х, t) /-'(TV-' = - f (- x,-t) =
= -\^{-x,-t)y^{-x,-t)\. (15.153)
Для электромагнитного поля аналогичная формула получается с помощью
уравнений (15.95), (15.97) и (15.126)
ZPCf А (х, /)/~1C~V~1 = - А(-х, -t). (15.154)
Применив ^.С/шреобразование к уравнению (15.8) для A0(x,t), получим
PCfA0(x, 0/"'C_V_1 =
= - \ | /о {-У, ~ 0 = - Ло (- х, - t),
что непосредственно следует также из (15.152). Поэтому
PCfA", (х) f-'C-'p-' = - Лм (- х). (15.155)
В том случае, когда плотность лагранжиана содержит производные полей, мы
используем равенство
д д /,г
135
Таким образом, эффект ^С^-преобразования сводится к следующему:
1. Все координаты хзаменяются на *' = - х^; при этом
д д
2. Эрмитовы скалярные поля срг(х) переходят в -Ьфг(л:'). гДе для
определенности мы выбрали фазу равной + 1. Электромагнитное поле Ац(х)
переходит в -A,j.(x').
3. Все тензоры четного ранга, содержащие билинейные формы фермиевых полей
и их производных, переходят в эрмитово сопряженные величины, а тензоры
нечетного ранга - в эрмитово сопряженные тензоры со знаком минус.
4. Все с-числа заменяются комплексно-сопряженными.
Так как 9?- скалярная величина, тензорные индексы в каждом члене
сворачиваются; при этом получается четное число знаков минус, связанных с
условием 3, которые, тем самым, оказываются несущественными. Чистый
эффект ^'С^'-преобра-зования сводится к эрмитовому сопряжению плотности
лагранжиана. Вопрос порядка множителей устраняется благодаря записи
операторов в нормальной форме. Именно в этом месте и проявляется связь
между спином и статистикой, поскольку операция нормального упорядочивания
вносит знак минус (см. (13.58)) для антикоммутирующих полей со спином 1/2
и знак плюс для бозевских полей со спином 0 и 1 (см. (12.25)), Поэтому,
если 9? - эрмитов оператор, то
9>С(х) /"'ГУ1 = & (х') = #(-*,_ t). (15.157)
Переход от 3 к гамильтоновой плотности выполняется обычным способом
X (х) = - 3 (*) -f Z : яг (*) фг (*):, (15.158)
Г
где сумма берется по всем ферми- и бозе-полям, входящим в &. Поскольку
каждое из преобразований /, С и / по построению оставляет инвариантными
коммутационные соотношения для бозе-полей
[пг (х, t), ф, (*', /)] = - гб3 (х - х') Ьг!
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed