Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
свободных полей (см. (15.23)). Поэтому для <Р0 по-прежнему справедливы
выражения (15.83) или (15.84), в которых операторы рождения и уничтожения
нужно рассматривать как коэффициенты разложения взаимодействующего поля
при t = 0. Далее применим гамильтонов оператор, чтобы выполнить смещение
во времени. Если
0"оф(*. 0)^0"1 = ±ф(-лг, 0), (15.86)
то оператор
д>ц) = е1шрф-1т (15.87)
удовлетворяет (15.73) в произвольный момент времени t. Наконец, если
оператор & коммутирует с гамильтонианом, то немедленно получаем, что
д> (/) = д> (0) = 0>о.
Фундаментальные соотношения (15.71) и (15.72) для поля Дирака будут
выполнены, если потребовать, чтобы вместо
(15.73) выполнялось условие
^ф (х, /) З8-' = у0ф (- *. t), (15.88)
причем коммутационные соотношения (13.53) и (13.54) при таком
преобразовании не меняются. Инвариантность уравнения Дирака относительно
преобразования (15.88) была показана
§98] ЧЕТНОСТЬ 119
в гл. 2 (см. (2.33)). Снова удобно перейти в формуле (15.88) к разложению
по плоским волнам. Имеем
S Е №b {р' S^~'U(P> s)e~iEpt+ipx +
+ &d+ (р, s)&-'v (р, s) e'V-'**] =
= S Vf E (P. s) Yo" (P, s) +
+ d+ (p, s) vow (p, s) eiEpt+ipxl (15.89) Заменив p на - p и используя
свойства спиноров и и v:
Yo"(- Р, s) = u(p, s), yov(-p, s) = - v(p, s), (15.90)
получим
tPb (p, s) $P~l - b(~p, s), Pd+(p, s)&-1 = -d+(~p, s) (15.91)
и аналогичные соотношения для операторов b+ и d.
Вспомнив, что оператор Ь+, действуя на вакуум, образует одноэлектронное
(или барионное) состояние, a d+ уничтожает позитрон (антибарион), мы
видим, что четности электрона и позитрона в одном и том же орбитальном
состоянии противоположны. Независимо от выбора фазы (15.88) электронные
состояния под действием оператора & преобразуются как скаляры, а
позитронные - как псевдоскаляры. Поэтому электрон-позитронная пара в s-
состоянии имеет отрицательную четность. Точно так же в любой теории, в
которой 0> является оператором симметрии, четность барион-антибарионной
пары отрицательна:
P\d*pf{p2)b+(p, s) d+ (р, s) | 0) =
= -\(Ppf (p2) b+ (p, s) d+ (p, s) | 0>. (15.92)
Для того чтобы построить явный вид оператора четности для дираковского
поля, нужно только повторить все выкладки, ведущие к выражению (15.84). В
результате получим
.^Dirac = exp {iPDirac)"
•PDlrac = - -у ^d3p [Ь+ (p, S) Ь (p, S) - Ь+ (p, S) Ь (- p, S) +
+ d+ (p, s) d (p, s) + d+ (p, s) d (- P, s)]. (15.93)
Так как оператор четности содержит матрицу уо, величина фубф является
псевдоскаляром:
&^{х, 0уь$(*> t)^1 = - /) Ys^ (- 0- (15.94)
120
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЯ
[ГЛ. 15
Это обстоятельство играет важную роль в теории мезон-нуклон-ного
рассеяния. Например, наш модельный лагранжиан (15.30) только в том случае
удовлетворяет условию (15.71), в котором оператор ^ действует на все
мезоны и нуклоны:
^ = рФФ.рр
р п Л Я 9
когда псевдоскалярный оператор (15.83). Этот выбор находится в согласии с
экспериментальными данными.
Внутренняя четность электромагнитного поля определяется принципом
соответствия, поскольку оно может быть связано с классическими токами.
Поэтому для фотонов мы полагаем
&А (*, t) == - А (- дг, 0- (15.95)
Это преобразование оставляет уравнения Максвелла инвариантными. Явный вид
оператора 5s находится так же, как и в теории Клейна - Гордона.
§ 99. Зарядовое сопряжение
Операция зарядового сопряжения связана с перестановкой частиц и
античастиц. В гл. 5 было показано, что в частном случае поля электронов
эта операция сводится к изменению знака электрического заряда и
электромагнитного поля. Если снова рассмотреть модельный лагранжиан
(15.69), включающий внешнее поле А^\ которое описывает измерительный
прибор, то такая интерпретация сводится к утверждению, что в зарядово-
симметричной теории существует унитарный оператор Ci такой, что
С2 (х) С-1 = % (х), С/" (х) С-1 = - V (х), (15.96)
где /р. - электромагнитный ток. Чтобы законы сохранения странности, числа
барионов и изотопического .спина были инвариантными при зарядовом
сопряжении, нейтральные частицы, описываемые неэрмитовыми полями, под
действием оператора С должны переходить в соответствующие античастицы.
Например, действуя на К0, "и А, оператор С переводит их в К0, в и А.
Фотоны и я°-мезоны, которые описываются эрмитовыми полями, не отличаются
от своих античастиц, поэтому при С-преобразовании эрмитово поле может
самое большое приобрести множитель -1. Электромагнитное поле под
действием оператора С должно преобразовываться следующим образом:
ед(х) с~! == - А(х),
(15-97)
ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ
121
при этом член j(x)-A{x) в лагранжиане взаимодействия остается
инвариантным. Из (15.97) следует, что
Са+ (k, Я) С-1 = - а+ (k, Я). (15.98)
Повторяя выкладки, аналогичные выкладкам предыдущего Параграфа, получаем
С = ехр ^ d3k а+ (k, Я) а (k, Я) j. (15.99)
Если включены взаимодействия, то .Q в выражении (15.99) может и не быть
оператором симметрии теории. В этом случае мы определим .С: соотношением,
аналогичным (15.87) для оператора !?, а именно:
