Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 35

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 138 >> Следующая

2) Хотя составные частицы могут быть описаны локальными полями [36, 37],
получающиеся при этом волновые уравнения оказываются весьма сложными, а
сам лагранжев формализм в лучшем случае неудобным.
104
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЙ
[ТЛ. 15
§ 94. Симметрия взаимодействий
При рассмотрении взаимодействий мы руководствуемся соображениями простоты
и экспериментальными фактами. Конструируя лагранжианы физических систем,
мы сопоставляем каждому наблюдаемому закону сохранения то или иное
свойство симметрии 2. С этой точки зрения мы обсудили в гл. 11 законы
сохранения энергии, импульса и углового момента, при Этом соответствующие
лагранжианы строились таким образом, чтобы они были трансляционно- и
лоренц-инвариантными. Кроме того, сохранению заряда, числа нуклонов,
изотопического спина и т. д. также можно сопоставить некоторые
"внутренние" симметрии лагранжиана. Как было показано в гл. 11 (см.
(11.58) и ниже), инвариантность 2 при локальном преобразовании полей
Фг (х) -*¦ фг (*) - ielrs(ps (х), (15.31)
где е-бесконечно малый параметр, ведет к сохраняющемуся току
дЗ?
h (X) =* - i = (д 1Х)/дх\ Л"Ф* (х),
д/.,
- = 0
а (*>,(*)/**) (15>32)
дХц
и сохраняющемуся "заряду"
Q = 5 d*x Jo (х) = - i 5 dh KsVs (х), (15 33)
Используя это обстоятельство, мы смогли построить электромагнитный ток
заряженных частиц. Например, лагранжиан электронов и фотонов инвариантен
при фазовом преобразовании
ф (х) -* ф (х) - геф (х), Лц (х) -> Л" (х), (15.34)
Поэтому, согласно (15.32), существует сохраняющийся электромагнитный ток
АО"
Ы (х) - - i д (дщдХ[1) Ф (х) = Ф (х) Уцф (х). (15.35)
Аналогичный результат имеет место и для заряженных бесспи* новых частиц.
При переходе к квантовой механике ток /'ц(х) становится оператором.
Удобно считать его нормально-упорядоченным оператором (см. (15.26) и
(15.27))'), т. е. сделать следующую замену
') Здесь и в дальнейшем при рассмотрении сохраняющихся величин мы
предполагаем, что вакуумное среднее всех операторов равно нулю.
s 94] СИММЕТРИЯ взаимодействии 105
jn(x)~*':^(x)yii^(x)'- Эта замена не нарушает закона сохранения,
поскольку она сводится к вычитанию (возможно, бесконечной) константы, не
зависящей от координат и времени:
(01 (х) | 0) - (01 е1Р% (0) е~'Рх | 0) = <0 | ^ (0) 10).
Сохраняющаяся величина Q в (15.33), подобно Рц и Af^v, имеет смысл
генератора преобразования. Образовав унитарный оператор
U (е) = е'е<г " 1 + ieQ, (15.36)
где е - бесконечно малый параметр и Q - эрмитов оператор, по-
лучим с учетом (15.31)
U (е) фг (х) U~l (е) = фг (х) + ге [Q, фг (а)] = фг {x)-ieXrsys (х),
(15.37) или.
[Q, Фг (*)] = - (х).
Результат находится в соответствии с (11.69) и (11.70). Используя
коммутационные соотношения (11.39) и (15.37), получаем
Q = - i ^ d3x: nr (х) Xrsqs (х): (15.38)
в согласии с (15.33). Можно проверить, что (15.38) сохраняет смысл
генератора преобразования и в теориях, квантуемых с антикоммутаторами,
при условии, что матрица Xrs связывает между собой одни только ферми-
поля, удовлетворяющие одновременным перестановочным соотношениям:
{^, а (*, 0, Ф/t 0 (*'- 0} = б"р6г/б3 (X - *'),
ел. I , (15.39)
(Фг,а(*> 0. М>/. 9 (Ж7, 0} = 0, {фг,а(*. о, М>/, з (*', 0} = 0.
В (15.39) индексы а, (5 = 1, 2, 3, 4 нумеруют спинорные компоненты, a i,
j= 1, 2, ... относятся к различным ферми-полям, например к полям протона
и нейтрона.
В дальнейшем мы будем всегда требовать, чтобы различные ферми-поля не
коммутировали, а антикоммутировали друг с другом. Кроме того, потребуем
чтобы различные бозе-поля коммутировали друг с другом и чтобы при равных
временах ферми-поля коммутировали с бозе-полями *). Для свободных полей
указанные правила коммутации означают только соглашение о выборе фазы.
Однако для взаимодействующих полей отказ от антикоммутаторов приводит к
противоречиям уже при
*) В случае фотонов электромагнитные потенциалы не независимы и вместо
(11.39) мы используем коммутационные соотношения (15.9) в калибровке
излучения. Правила же коммутации электромагнитных потенциалов с другими
подями не изменяются,
106 ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОЛЯ [ГЛ. 15
рассмотрении гейзенберговских уравнений движения. Действительно, для
мезон-кулонного взаимодействия (15.30) гамильтониан равен
Я= ^ d3x[V+ (- ia • V + W'P +
+ i (я • я + Уф • Уф + р2ф . ф) • ф'Р]; (15.40)
при этом уравнение для протонного поля имеет вид
(iV - MfJ) фр (х) = tg0Y5 (V2 <р+ (*) фп (х) + ф0 (*) фр (х)).
Для выполнения соотношения Гейзенберга
<ЭтЬ (х)
[Н, =
необходимо потребовать, чтобы оператор г|iP{x,t) коммутировал с
билинейной формой Ф* (х, t) ... трп (х, t), а также чтобы выполнялось
условие
{Фр(*, t), ф+(х, t)\{x, t)) = 0. (15.41)
При указанном выше выборе перестановочных соотношений оба эти условия,
как легко видеть, выполняются. Отметим также, что антикоммутаторы в
(15.39) инвариантны под действием преобразования (15.37), другими
словами, теория, построенная в терминах преобразованных полей
фг (х) = U (е) фг (х) U~l (е), (15.42)
не отличается от исходной теории, оперирующей с полями фДх).
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed